## [Logarithmische Dichte](/de/node/62022) Definition Eine gewichtete Dichtedefinition für eine Menge A positiver ganzer Zahlen, definiert, falls existent, als der Grenzwert x→∞ von (1 / log x) Σ_{n≤x, n∈A} 1/n; sie misst den Anteil von A mit harmonischer Gewichtung statt mit Gleichgewichtung. ## Prinzip Prinzip Durch die Verwendung harmonischer Gewichte 1/n wird Skalierungsinvarianz erreicht, wodurch multiplikative Strukturen und dünne Mengen mit divergierenden Kehrwertsummen erkannt werden, auch wenn die natürliche Dichte null oder undefiniert ist. ## Demonstration Demonstration Für die Menge der Vielfachen eines ganzen m≥1 gilt Σ_{n≤x, n∈A} 1/n ≍ (1/m) log x, sodass die logarithmische Dichte 1/m beträgt. Dies zeigt, wie arithmetische Progressionen unter harmonischer Gewichtung den erwarteten Anteil erhalten. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die logarithmische Dichte mit der natürlichen Dichte gleichzusetzen; die Existenz des Grenzwerts für beliebige Mengen anzunehmen, ohne die Oszillation der harmonischen Summe zu prüfen. ## Konsequenz Konsequenz Wenn sie existiert, liefert die logarithmische Dichte ein robustes Bruchgrößeninvariant, das unter multiplikativen Skalierungen stabil ist und sich für mengen mit multiplikativer oder verteilungsbezogener Definition eignet. ## Umkehrung Umkehrung Das Komplement von A hat die logarithmische Dichte 1 minus der logarithmischen Dichte von A, sofern beide existieren; jedoch muss nicht zwangsläufig die eine Existenz die andere garantieren. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt nur für Teilmengen der positiven ganzen Zahlen und nur wenn der harmonisch gewichtete Grenzwert existiert; schließt endliche Mengen aus und viele natürliche Mengen deren gewichtete Partialsummen oszillieren. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Steht im Wettbewerb mit der natürlichen Dichte: natürliche Dichte zählt gleichmäßig, während logarithmische Dichte nach 1/n gewichtet, sodass Mengen mit vielen kleinen Elementen oder multiplikativer Struktur unterschiedliche Werte liefern können. ## Synthese Synthese Die logarithmische Dichte ist das harmonisch gewichtete Analogon zur natürlichen Dichte: Sie ersetzt gleichmäßiges Zählen durch 1/n-Gewichte, um skalensensible und multiplikativ geprägte Verteilungsmerkmale sichtbar zu machen, wenn der harmonische Mittelwert konvergiert.