##  [Sieb von Atkin](/de/node/61990) 

 Definition

Ein moderner Primzahlsieb, der modulare Arithmetik und quadratische Restklassenbedingungen nutzt, um Kandidaten bis zu einer Grenze N zu identifizieren, gefolgt vom Entfernen der Quadratmultiplen, sodass Primzahlen übrig bleiben; bei optimierter Implementierung kann er schneller als das klassische Sieb sein.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Regeln auf Grundlage von x^2 + y^2, 3x^2 − y^2 und 3x^2 + y^2 modulo kleiner Moduli anwenden, um Kandidatenbits für Zahlen zu toggeln, die bestimmte Kongruenzen erfüllen, und anschließend Vielfache von Quadraten entfernen, um die Primliste zu finalisieren.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Für N ≤ 50 toggelt der Algorithmus Kandidaten entsprechend kleinen x,y‑Paaren, die die quadratischen Kongruenzen erfüllen; nach Toggles und Entfernen der Quadratmultiplen bleiben Kandidaten wie 5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Atkin‑Regeln falsch implementieren (falsche Kongruenzbedingungen oder Weglassen der Quadrat‑Eliminierung) oder Atkin für sehr kleine N einsetzen, wo der Overhead langsamer als Eratosthenes ist.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Bei korrekter Implementierung und Feinabstimmung bietet Atkin bessere konstante Faktoren und Cache‑Verhalten für sehr große Siebbereiche und erzeugt nach Quadrat‑Eliminierung und Validierung die korrekte Primliste.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Die Umkehr wäre, sich nur auf das Konvergenztoggling zu verlassen ohne finale Quadrat‑Entfernung — das liefert viele Pseudoprimkandidaten und eine falsche Primliste.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Zielt auf die Aufzählung von Primzahlen bis zu einer großen Grenze N mit sorgfältiger Implementierung; erfordert korrektes Handling quadratischer Restbedingungen und ist für kleine Bereiche oder schlechte Speicherlokalität nicht vorteilhaft.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Konkuriert mit optimierten Eratosthenes‑Varianten und probabilistischen/deterministischen Primzahltests; Atkin setzt auf arithmetische Kongruenzregeln, die Arbeit sparen können, dafür aber Implementierungskomplexität und konstante Mehrkosten einführen.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Atkin verfeinert das Sieben durch modulare quadratische Bedingungen zur Vorselektion von Kandidaten und anschließendes Entfernen der Quadratmultiplen, was für große N bei sorgfältiger Optimierung ein theoretisch schnelleres Sieb ergibt.