## [Farey-Folge](/de/node/61980) Definition Die aufsteigende Folge der gekürzten rationalen Zahlen zwischen 0 und 1, deren Nenner einen gegebenen positiven Integer N nicht überschreiten, geordnet in wachsender Reihenfolge und einschließlich 0/1 und 1/1. ## Prinzip Prinzip Benachbarte Terme a/b und c/d in der Farey-Folge der Ordnung N erfüllen bc − ad = 1; Medianten und die Farey-Addition erzeugen Zwischenbrüche unter Berücksichtigung der Nennerbeschränkung. ## Demonstration Demonstration Für N = 5 ist die Farey-Folge F5 0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1; benachbarte Paare erfüllen die Determinantenbedingung und Medianten mit Nenner ≤5 erscheinen zwischen Nachbarn. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die Annahme, die Mediante zweier Brüche gehöre immer zur gleichen Farey-Folge, ohne die Nennergrenze oder Adjazen zu prüfen, kann zu einem Bruch führen, der nicht in der Folge steht. ## Konsequenz Konsequenz Farey-Folgen ordnen rationale Zahlen nach Nennerkomplexität, liefern Identitäten, die in der modularen und analytischen Zahlentheorie verwendet werden, und verbinden sich mit geometrischen Konstruktionen (z. B. Ford-Kreise) und Kettenbrüchen. ## Umkehrung Umkehrung Der Stern–Brocot-Baum erzeugt alle positiven rationalen Zahlen ohne feste Nennergrenze durch iterative Medianten, im Gegensatz zu Farey, das eine maximale Nennergrenze festlegt und nur gekürzte Brüche in einem Intervall auflistet. ## Abgrenzung Abgrenzung Die Definition bezieht sich speziell auf das Intervall [0,1] und Nenner ≤ N; man kann auf andere Intervalle oder auf gekürzte rationale Zahlen ohne obere Nennergrenze erweitern, aber Eigenschaften wie die Adjazenbedingung ändern sich dann. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Man unterscheidet Farey-Folgen von Stern–Brocot-Enumerationen und von nach Nenner sortierten Listen rationaler Zahlen; Farey betont Adjazen und die Bedingung bc−ad=1 unter einer Nennerobergrenze. ## Synthese Synthese Eine Farey-Folge der Ordnung N ist die geordnete Liste der gekürzten Rationalzahlen in [0,1] mit Nennern höchstens N, charakterisiert durch die Einheitsdeterminantenbedingung für Nachbarn und die durch Nennerbegrenzung gesteuerte Mediantenbildung.