## [Kettenbruch](/de/node/61978) Definition Eine endliche oder unendliche Darstellung einer reellen Zahl als ganzzahliger Anteil gefolgt von einer verschachtelten Folge von Kehrwerten ganzer Zahlen, meist geschrieben als [a0; a1, a2, ...] mit den Partialquotienten ai. ## Prinzip Prinzip Kettenbrüche kodieren den euklidischen Algorithmus für reelle Zahlen und erzeugen über Konvergenten die besten rationalen Approximationen; Periodizität steht in Zusammenhang mit quadratischen Irrationalitäten. ## Demonstration Demonstration Die goldene Zahl φ = (1+√5)/2 hat den einfachen Kettenbruch [1;1,1,1,...] mit allen Partialquotienten gleich 1; ihre Konvergenten 1, 2/1, 3/2, 5/3,... nähern φ optimal an. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Eine endliche Abschneidung fälschlich als vollständige Darstellung eines Irrationalen zu verwenden oder beliebige nichtganzzahlige Partialquotienten als einfachen Kettenbruch zu behandeln, missbraucht die Standardform. ## Konsequenz Konsequenz Das Abschneiden eines Kettenbruchs liefert Konvergenten, die die besten Approximationen mit beschränkten Nennern sind; periodische Kettenbrüche charakterisieren quadratische Irrationale und lösen Pell-ähnliche Gleichungen. ## Umkehrung Umkehrung Das Gegenstück sind Dezimal- oder Basisdarstellungen; diese erzeugen gleichmäßig verteilte Ziffernfolgen, besitzen aber nicht dieselben diophantischen Optimaleigenschaften und die kanonische Periodizitätsklassifikation für Quadratische. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt für reelle Zahlen und lässt sich verallgemeinern; ein 'einfacher' Kettenbruch verlangt ganze, meist positive Partialquotienten (außer möglicherweise a0). Verallgemeinerte Kettenbrüche erlauben nichtganzzahlige oder negative Partialquotienten. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Man unterscheidet einfache Kettenbrüche (verschachtelte Kehrwerte ganzer Zahlen) von allgemeineren Kettenbrüchen und anderen Darstellungen wie Dezimalentwicklungen; die Formen haben unterschiedliche Approximationseigenschaften. ## Synthese Synthese Ein Kettenbruch ist eine verschachtelte Kehrwertentwicklung, die den euklidischen Algorithmus auf eine reelle Zahl reflektiert; seine Konvergenten liefern kanonische rationale Approximationen und seine Struktur offenbart arithmetische Merkmale wie Periodizität bei Quadratischen.