##  [Quadratischer Nichtrest](/de/node/61972) 

 Definition

Eine ganze Zahl r (bzw. ihre Kongruenzklasse modulo n), die zu keinem Quadrat modulo n kongruent ist; äquivalent: r liegt nicht im Bild der Quadrierabbildung x ↦ x^2 auf Z/nZ.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Nichtreste werden negativ durch Nichtlösbarkeit definiert: das Prinzip ist die Klassifikation der Klassen danach, ob die quadratische Kongruenz x^2 ≡ r (mod n) eine Lösung besitzt und damit Reste von Nichtresten trennt.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Modulo 7 ist die Klasse 3 ein quadratischer Nichtrest, weil kein x in {0,…,6} die Gleichung x^2 ≡ 3 (mod 7) erfüllt; demgegenüber sind 2 und 4 Reste, wie die quadratischen Reste zeigen.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Eine Zahl ohne Angabe des Moduls als Nichtrest zu bezeichnen oder Verteilungsheuristiken von Primmoduln unverändert auf zusammengesetzte Moduli zu übertragen, wo die Verteilung komplizierter ist.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Nichtreste markieren Klassen, in denen quadratische Kongruenzen keine Lösung haben, beeinflussen Reziprozitätsgesetze und werden in kryptographischen Konstruktionen verwendet, die auf der Schwierigkeit beruhen, Reste von Nichtresten zu unterscheiden.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Das Gegenstück ist der quadratische Rest; die Umkehr der Klassifikation ändert die Lösbarkeit quadratischer Gleichungen und die Zugehörigkeit zu multiplikativen Untergruppen von (Z/nZ)^×.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Hängt vom Modul n ab: für ungerades Prim p sind etwa die Hälfte der nichtnullen Klassen Nichtreste (je nach Zählkonvention); bei zusammengesetzten n verändern Nullteiler und chinesische Restklassensatz die Existenz und Zählung.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zwischen der algorithmischen Aufgabe 'testen, ob eine Zahl Nichtrest ist' und der abstrakten Klassifikation; ebenso zwischen statistischen Heuristiken und exakten algebraischen Kriterien wie Legendre‑ oder Jacobi‑Symbolen.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Ein quadratischer Nichtrest modulo n ist eine Kongruenzklasse, die nicht als Quadrat erreichbar ist; zusammen mit den Resten partitioniert er die Klassen nach Lösbarkeit von x^2 ≡ r und ist zentral für Reziprozität, Algorithmen und Kryptographie.