##  [Quadratischer Rest](/de/node/61970) 

 Definition

Eine ganze Zahl r ist ein quadratischer Rest modulo n, wenn es ein ganzes x gibt mit x^2 ≡ r (mod n); andernfalls ist r ein quadratischer Nichtrest modulo n. Residuen sind als Klassen modulo n zu verstehen.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Das ordnende Prinzip ist, dass Quadrieren eine Abbildung auf Z/nZ definiert, deren Bild die Menge der quadratischen Reste ist; bei ungeradem Primmodul p ist dieses Bild ein multiplikativer Untergruppe von Index zwei in (Z/pZ)^×.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Modulo 7 sind die Quadrate {0,1,2,4}, denn 0^2≡0, 1^2≡1, 2^2≡4, 3^2≡2, 4^2≡2, 5^2≡4, 6^2≡1 (mod 7); damit ist 2 ein quadratischer Rest modulo 7, 3 dagegen ein Nichtrest.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Anzunehmen, Aussagen für Primmoduln gelten unverändert für zusammengesetzte Moduli (wo Nullteiler die Lage verkomplizieren), oder Residuen als eindeutige numerische Quadratwurzeln statt als Kongruenzklassen zu behandeln.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Richtig angewandt trennt das Konzept die lösbaren von den unlösbaren quadratischen Kongruenzen x^2 ≡ a (mod n), begründet Legendre‑ und Jacobi‑Symbole und steuert Algorithmen für Quadratwurzeln modulo Primzahlen sowie Faktorisierungsverfahren, die quadratische Charaktere nutzen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Das Gegenstück ist der quadratische Nichtrest: eine Klasse, die nicht im Bild der Quadrierung liegt; der Wechsel von Rest zu Nichtrest ändert die Lösbarkeit quadratischer Kongruenzen und viele Reziprozitätsaussagen.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Definiert modulo jeder ganzen Zahl n, aber das Verhalten unterscheidet sich: bei ungeradem Prim p gibt es genau (p+1)/2 Reste (mit Null), bei zusammengesetzten n hängt die Struktur von Primpotenzfaktoren ab und Klassen können mehrere oder keine Wurzeln haben.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung besteht zwischen der konkreten Behauptung «eine Zahl ist ein Quadrat» und der modularen Aussage «eine Klasse ist quadratischer Rest»; sowie zwischen Legendre/Jacobi‑Symbolik und direkter Existenz von Wurzeln bei zusammengesetzten Moduli.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Ein quadratischer Rest modulo n ist eine Kongruenzklasse, die als Quadrat erreichbar ist; dieses Bild‑des‑Quadrierens kodiert die Lösbarkeit quadratischer Kongruenzen, bildet die Grundlage quadratischer Reziprozität und differenziert Klassen nach ihrem quadratischen Charakter.