## [Kuspide Kante](/de/node/61922) Definition Eine Kurve auf einer Fläche, entlang der die Fläche in transversalen Querschnitten cuspidenartige Singularitäten zeigt: lokal hat die Abbildung von Parametern in den umgebenden Raum in Normalrichtung eine Kuspise, während die Singularitätsmenge selbst eindimensional ist. ## Prinzip Prinzip Eine generische Korang-1-Singularität einer Abbildung von R^2 nach R^3, die entlang einer Kurve auftritt: Die Ableitung verliert transversal Rang und das transversale Profil ist einer ebenen Kuspise (z. B. y^2 = x^3) äquivalent, während die Singularitätslokalität glatt ist. ## Demonstration Demonstration Lokal modelliert durch f(u,v) = (u, v^2, v^3): Entlang der u-Achse hat die Fläche einen cuspidalen Querschnitt in der (v^2,v^3)-Ebene und erzeugt eine sichtbare Kante von Kuspissingularitäten. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Jede scharf erscheinende Linie auf einer Fläche als kuspidale Kante zu bezeichnen, ohne den lokalen Singularitätstyp zu prüfen; eine kuspidale Kante mit einem Knick oder einer scharfen Kante zu verwechseln, bei denen das transversale Profil keine echte Kuspise ist. ## Konsequenz Konsequenz Geometrie und Analyse in der Nähe der Kante ändern sich: Normale Felder können sich nicht glatt fortsetzen, Krümmungsinvarianten sind singulär oder einseitig, und Standardargumente für PDG oder Flüsse, die auf Mannigfaltigkeitsannahmen beruhen, müssen für Kuspisen angepasst werden. ## Umkehrung Umkehrung Eine reguläre Kante oder glatte Randkurve: eine Kurve auf einer Fläche, bei der lokale Parametrisierungen vollen Rang behalten (keine Kuspise im transversalen Profil) und die Fläche in der Nachbarschaft eine glatte 2-Mannigfaltigkeit ist. ## Abgrenzung Abgrenzung Bezieht sich spezifisch auf cuspidenartige transversale Singularitäten entlang einer eindimensionalen Lokalität; schließt isolierte Kuspispunkte, rein faltartige Knicke (Tangenten-Discontinuity ohne Kuspisenprofil) und Schnittmengen aus, die nur aus Überlappung resultieren. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannung zum Vokabular Knick/Grat: Kuspide Kanten sind Singularitäten, die durch Rangdefizit und Normalverhalten erkannt werden, während Knicke durch Tangenten-Discontinuities und Grate durch Krümmungskonzentration charakterisiert sind — diese Phänomene können zusammenfallen, sind aber begrifflich verschieden. ## Synthese Synthese Eine kuspide Kante ist eine glatte Kurve entlang einer Fläche, bei der jeder transversale Schnitt eine Kuspise zeigt: analytisch eine Korang-1-Degeneration, die cuspidenartige Profile erzeugt, und geometrisch eine Linie singulärer Punkte, die Normalen- und Krümmungsverhalten verändert.