## [Projektive Geometrie](/de/node/61900) Definition Die Untersuchung von Inzidenzrelationen und Invarianten unter projektiven Transformationen, die die affine Geometrie erweitern, indem Punkte im Unendlichen hinzugenommen werden, sodass parallele Geraden sich schneiden; im Zentrum stehen Doppelverhältnis, Perspektivität und Dualität zwischen Punkten und Geraden, metrische Maße bleiben unberücksichtigt. ## Prinzip Prinzip Geometrie nach Invarianz unter der projektiv-linearen Gruppe organisieren: Inzidenz und Doppelverhältnis bewahren, die affine Ebene durch eine Unendlichkeitshyperfläche kompaktieren und duale Aussagen (Punkte ↔ Geraden) symmetrisch behandeln. ## Demonstration Demonstration In der reellen projektiven Ebene schneiden sich zwei verschiedene Geraden stets in genau einem Punkt (gegebenenfalls im Unendlichen). Eine Kollineation bildet Geraden auf Geraden ab; das Doppelverhältnis vierer kollinearer Punkte bleibt unter projektiven Abbildungen invariant und charakterisiert projektive Klassen von Konfigurationen. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Euklidische Distanz- oder Winkelbegriffe anwenden oder annehmen, dass affine Verhältnisse auf nicht-parallelen sich schneidenden Geraden weiterhin sinnhaft sind; projektive Äquivalenz mit Kongruenz zu verwechseln führt zu falschen Identifikationen metrisch verschiedener Figuren. ## Konsequenz Konsequenz Richtig angewandt ermöglicht es die Klassifikation von Kegelschnitten und perspektivischen Konstruktionen, vereinheitlicht Desargues- und Pappus-artige Resultate und erlaubt koordinatenfreies Schließen über Perspektivität, harmonische Mengen und projektive Invarianten in verschiedenen Modellen. ## Umkehrung Umkehrung Die Rückkehr zur affinen Geometrie entfernt die Identifikation des Parallelismus durch Punkte im Unendlichen und stellt das spezielle Verhalten paralleler Geraden wieder her; die Rückkehr zu metrischen Geometrien führt Abstände und Winkel wieder ein. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt für projektive Räume über Körpern oder Schiefkörpern und für synthetische Inzidenzstrukturen; schließt metrische Begriffe aus, und viele projektive Aussagen versagen über degenerierten Ringen oder ohne ausreichende Körpereigenschaften. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannung besteht gegenüber der affinen Geometrie (Behandlung des Parallelismus) und gegenüber der metrischen Geometrie (Vorhandensein von Abständen); außerdem Spannung zwischen synthetischen projektiven Axiomen und algebraischen, koordinatenbasierten Modellen. ## Synthese Synthese Die projektive Geometrie abstrahiert Inzidenz und Perspektive durch Hinzunahme von Punkten im Unendlichen und durch projektiv-lineare Invarianten wie Doppelverhältnis und Dualität: sie betrachtet Konfigurationen bis auf projektive Transformationen, in denen Parallelität nicht mehr auffällig ist.