##  [Baryzentrische Koordinaten](/de/node/61868) 

 Definition

Eine Koordinatendarstellung eines Punktes relativ zu den Eckpunkten eines Simplex (z. B. eines Dreiecks) mithilfe von Gewichten, die proportional zu orientierten Flächen oder Volumina sind; die Gewichte summieren zu eins und geben die affine Kombination der Eckpunkte an, die den Punkt ergibt.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Jeder Punkt im affinen Erzeugnis eines Simplex lässt sich (außer in degeneraten Fällen) eindeutig als gewichteter Durchschnitt der Eckpunkte mit Koeffizienten darstellen, die zu eins summieren; geometrische Beziehungen werden zu algebraischen Beziehungen zwischen diesen Gewichten.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Für einen Punkt P in der Ebene des Dreiecks ABC berechne die Skalare α, β, γ proportional zu den Flächen der Dreiecke PBC, PCA und PAB und normiere so, dass α+β+γ=1; dann gilt P = αA + βB + γC, die baryzentrischen Koordinaten sind (α,β,γ).

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Baryzentrische Koordinaten ohne die Summe-eins-Bedingung wie euklidische Koordinaten zu behandeln oder sie außerhalb des affinen Spans des Simplex zu verwenden (etwa Flächenformeln bei nicht-koplanaren Punkten anzuwenden) führt zu falschen Ergebnissen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Richtig angewandt linearisieren baryzentrische Koordinaten viele geometrische Konstruktionen: Schnittpunkte von Geraden, Cevians und Kegelschnittgleichungen werden zu linearen oder rationalen Beziehungen in den Gewichten, was Beweise und Berechnungen vereinfacht.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Statt Punkte durch Gewichte an Eckpunkten darzustellen, könnte man Punkte durch absolute kartesische Koordinaten beschreiben; diese Umkehr verliert die affine Invarianz, die baryzentrische Koordinaten besitzen.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für die affinen Umgebungen von Simplexen (Strecken, Dreiecke, Tetraeder) und lässt sich auf orientierte Flächen/Volumina erweitern; ausgeschlossen sind nichtaffine Mannigfaltigkeiten und Situationen mit undefinierten oder degenerierten Eckpunkten (Kolinearität/Koplanarität erfordert Grenzwertbetrachtung).

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Baryzentrische Koordinaten stehen im Wettbewerb mit homogenen und kartesischen Koordinatensystemen: homogene Formen beschreiben projektive Eigenschaften, kartesische sind global; baryzentrisch sind lokal am Simplex sinnvoll und affine Invarianz treffend, aber nicht global anwendbar.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Baryzentrische Koordinaten sind ein affines Gewichtssystem relativ zu einem Simplex: durch Normalisierung von orientierten Flächen- oder Volumenanteilen an den Ecken erhält man Koordinaten, die geometrische Verhältnis- und Inzidenzaussagen in lineare Algebra überführen.