##  [Umkreisradius](/de/node/61837) 

 Definition

Der Radius des umschreibenden Kreises oder der umschreibenden Kugel, die durch alle Eckpunkte eines Polygons oder Polyeders verläuft; falls ein eindeutiger Umkreiszentrum existiert, ist der Umkreisradius der Abstand dieses Zentrums zu einem beliebigen Eckpunkt.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Der Umkreisradius hängt von der Konkurrenz der Mittelsenkrechten (Existenz des Umkreiszentrums) ab und erfasst die Skala einer zyklischen Konfiguration; bei Dreiecken steht er in algebraischer Beziehung zu Seitenlängen und Fläche.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Ein Dreieck mit Seiten a,b,c hat Umkreisradius R = abc/(4Δ), wobei Δ die Dreiecksfläche ist; ein regelmäßiges n‑Eck mit Seitenlänge s hat einen Umkreisradius, der durch s und den Zentriwinkel bestimmt wird.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Zu behaupten, jedes Polygon oder Polyeder habe einen Umkreisradius; viele Polygone sind nicht zyklisch und viele Polyeder besitzen keine Kugel durch alle Eckpunkte. Den Umkreisradius mit dem minimalen Einhüllradius zu verwechseln ist ein häufiger Fehler.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Wenn er existiert, legt der Umkreisradius Zentriwinkel und Sehnenlängen fest und wird in Konstruktionen, Triangulierungen (Delaunay) und zur Ableitung metrischer Beziehungen zwischen Eckpunkten verwendet.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Die duale Größe ist der Inkreisradius, gemessen vom Inzentrum zu den tangierenden Seiten; ersetzt man ‚verläuft durch die Eckpunkte‘ durch ‚berührt die Kanten‘, vertauschen sich Umkreis‑ und Inkreisradius.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Definiert nur für zyklische Polygone und polyedrische Konstellationen mit konzyklischen Eckpunkten; für allgemeine Punktmengen betrachtet man stattdessen den minimalen Einhüllradius (Covering‑Radius), der nicht notwendigerweise durch ein einzelnes, allen Punkten gleich weit entferntes Zentrum realisiert wird.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zwischen Existenz und Optimalität: Umkreisradius erfordert exakte Konzyklizität, während der minimale Einhüllradius eine optimale Überdeckung liefert, selbst wenn kein echter Umkreis existiert; beide stimmen nur in Spezialfällen überein.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Der Umkreisradius ist der Zentrum‑zu‑Eckpunkt‑Abstand eines umschreibenden Kreises oder einer umschreibenden Kugel, falls eine solche Umfassung existiert; er quantifiziert die Skala einer zyklischen Konstellation und bildet die Grundlage vieler metrischer Beziehungen in Polygon‑ und Polyedergeometrie.