## [Durchmesser](/de/node/61835) Definition Der größte Abstand zwischen zwei Punkten einer Menge, äquivalent zum Supremum der paarweisen Abstände in einem metrischen Raum; bei einem Kreis oder einer Kugel ist der Durchmesser das Doppelte des Radius. ## Prinzip Prinzip Der Durchmesser misst die globale Ausdehnung: er ist das suprema paarweiser Abstände und damit ein globaler Skalenparameter, der jeden paarweisen Abstand innerhalb der Menge beschränkt. ## Demonstration Demonstration Bei einem Kreis mit Radius r ist der Durchmesser 2r; eine beschränkte Teilmenge des euklidischen Raums hat endlichen Durchmesser, eine unbeschränkte Menge unendlichen Durchmesser; Punktwolken haben als Durchmesser das weiteste Paar. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Anzunehmen, dass der Durchmesser stets durch ein Punktpaar realisiert wird (das Supremum ist in nicht-kompakten Räumen vielleicht kein Maximum) oder den Durchmesser mit einer Sehnenlänge in beliebigen nichtkonvexen Gebieten zu verwechseln. ## Konsequenz Konsequenz Der Durchmesser liefert eine sofortige Schranke für Abstände innerhalb der Menge, steuert Begriffe wie Beschränktheit und Kompaktheit und tritt in Ungleichungen auf (z. B. Lipschitz-Konstanten, Überdeckungszahlen). ## Umkehrung Umkehrung Ersetzt man die globale maximale Distanz durch ein lokales radiales Maß, erhält man Radius- oder Inradius-Konzepte; die durchschnittliche paarweise Distanz bildet einen Mittelwertkontrast zur maximalen Streuung. ## Abgrenzung Abgrenzung Definiert in jedem metrischen Raum, kann aber unendlich sein; in nicht-metrischen Kontexten muss ein Analogon spezifiziert werden. Durchmesser von Graphen, Mannigfaltigkeiten und Mengen ist mit der jeweils angewendeten Distanz zu verstehen. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannung zu verwandten Begriffen wie Breite, Umkreisdurchmesser oder maximaler Sehne: bei konvexen Körpern stimmt der Durchmesser mit der längsten Sehne überein, allgemein divergieren diese Begriffe. ## Synthese Synthese Der Durchmesser ist das Supremum der Abstände zwischen Punkten einer Menge — die eindimensionale Maßzahl für die maximale Streuung, die Beschränktheit und die globale Skala bestimmt.