##  [Mittlere Krümmung](/de/node/61831) 

 Definition

An einem regulären Punkt einer glatten Fläche der arithmetische Mittelwert H=(k1+k2)/2 der beiden Hauptkrümmungen; ein extrinsisches Maß lokaler Biegung, verbunden mit der Änderung der Flächennormale.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Die mittlere Krümmung tritt als erste Variation der Flächenfläche auf: in erster Ordnung ändert eine Verschiebung der Fläche entlang der Normalen die Fläche proportional zu H, daher kennzeichnet H=0 stationäre Flächen (Minimale Flächen).

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Bei einer Kugel mit Radius R gilt k1=k2=1/R, also H=1/R; eine Minimalfläche wie die Katenoide oder ein Seifenfilm hat H=0 an jedem Punkt.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Die mittlere Krümmung als intrinsisches Invariant zu verwenden oder mit der Gaußschen Krümmung zu verwechseln; das Vorzeichen der Normalen zu ignorieren, wodurch H sein Vorzeichen ändert.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Die mittlere Krümmung bestimmt physikalische Gleichgewichte von Grenzflächen (Seifenfilme, Kapillarität) und treibt geometrische Flüsse (Mean-Curvature-Flow), die Formen in Richtung geringer Fläche glätten.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Beim Ersetzen der Mittelung durch Multiplikation erhält man die Gaußsche Krümmung; die Betrachtung der Normalkrümmung in einer Richtung liefert gerichtete Biegungsinformationen statt der gemittelten Normalenvariation.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Definiert für glatte reguläre Flächen mit festgelegter Einheitsnormalen; nicht definiert an Singularitäten oder auf nicht-orientierbaren Flächen ohne konsistente Normale. Vorzeichenkonventionen variieren.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung besteht zwischen der extrinsischen Bedeutung (abhängig von der Einbettung und der gewählten Normalen) und ihrer variationellen Rolle (Variation der Flächenfläche); man muss den geometrischen vom physikalischen Sinn unterscheiden.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Die mittlere Krümmung ist der Durchschnitt der Hauptkrümmungen an einem Punkt, ein extrinsisches Skalar, das die normale Biegung misst und die Flächenvariation, Gleichgewichtszustände und Glättungsdynamiken bestimmt.