## [Gaussianische Krümmung](/de/node/61830) Definition An einem regulären Punkt einer glatten Oberfläche das Produkt der beiden Hauptkrümmungen k1 und k2; ein intrinsisches Maß der Krümmung der Oberfläche, das nur von der ersten Fundamentalen Form abhängt und nicht von der Einbettung im Raum. ## Prinzip Prinzip Die intrinsische Geometrie einer Fläche bestimmt die Gaußsche Krümmung: lokale metrische Daten (Längen und Winkel) legen K fest, K ist unter Isometrien der Fläche invariant. ## Demonstration Demonstration Bei einer Kugel mit Radius R gilt k1=k2=1/R, also K=1/R^2; bei einer Ebene ist K=0; an einem Sattelpunkt wie einer hyperbolischen Paraboloid sind k1>0, k2<0 und damit K<0. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die Gaußsche Krümmung als arithmetisches Mittel der Hauptkrümmungen zu behandeln oder als extrinsisches Biegemaß, das sich bei Biegungen ohne Dehnung ändert; Vorzeichenkonventionen ohne Orientierung anzugeben. ## Konsequenz Konsequenz Die Gaußsche Krümmung steuert lokale geometrische Phänomene wie das Verhalten von Geodäten, Flächenverzerrung und über Integralsätze globale topologische Invarianten; sie entscheidet, ob Umgebungen kugelähnlich, flach oder sattelförmig sind. ## Umkehrung Umkehrung Ausgetauscht gegen eine extrinsische Sichtweise ergibt sich mittlere Krümmung oder Normalkrümmung; die Umkehrung führt zu Größen, die von der Lage der Fläche im Raum abhängen statt nur von ihrer Metrik. ## Abgrenzung Abgrenzung Definiert an regulären (zweimal differenzierbaren) Punkten einer zweidimensionalen Fläche; nicht definiert an Ecken, Kanten oder nicht differenzierbaren Mengen. Für höherdimensionale Mannigfaltigkeiten verwendet man Schnitt- oder Ricci-Krümmung. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Konkurrenz besteht zwischen intrinsischer und extrinsischer Deutung; einige Quellen vermischen Vorzeichen oder definieren K über Hauptkrümmungen, andere über Metrikformeln — die Spannung liegt zwischen koordinatenfreiem Metrikinvariant und einbettungsabhängigen Maßen. ## Synthese Synthese Die Gaußsche Krümmung ist das intrinsische Skalar, erhalten als Produkt der Hauptkrümmungen an einem glatten Punkt; sie fasst das lokale metrische Biegen zusammen und sagt voraus, ob Umgebungen kugel-, flach- oder sattelförmig sind.