##  [Volumen](/de/node/61825) 

 Definition

Das dreidimensionale Maß des von einem Körper oder einer Region eingenommenen Raums, gegeben durch ein Dreifachintegral oder das Lebesgue-Maß in drei Dimensionen und ausgedrückt in Kubikeinheiten.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Volumen wird berechnet, indem die Region in infinitesimale Elemente zerlegt und deren dreidimensionale Maße aufsummiert werden; für glatte Körper entspricht dies der Integration des durch die umgebende Metrik oder den Jacobian bestimmten Volumenelements.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Eine Kugel mit Radius r hat das Volumen (4/3)πr³, erhalten durch Integration konzentrischer Kugelschalen oder durch Auswertung eines Dreifachintegrals in Kugelkoordinaten.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Die Oberfläche oder ebenen Flächenformeln zur Abschätzung von Kapazität oder Volumen ohne geeignete dimensionsbezogene Skalierung verwenden oder beim Variablenwechsel Jacobian-Faktoren ignorieren.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Korrekte Volumenberechnungen liefern Kapazitäten, Massen für gegebene Dichteverteilungen, Wahrscheinlichkeiten für dreidimensionale Zufallsgrößen und sind grundlegend für divergenzbasierte Sätze in der Vektoranalysis.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Anstatt ein dreidimensionales Volumen zu messen, nur die zweidimensionale Randoberfläche oder ein eindimensionales Gerüst messen; dabei geht volumetrische Information verloren und der Fokus wendet sich niedrigerdimensionalen Merkmalen zu.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für Teilmengen dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten oder des euklidischen Raums mit Maßstruktur; nicht messbare Mengen, auf niedrigerdimensionale Teilmengen konzentrierte Verteilungen oder Fraktale erfordern verallgemeinerte Maßbegriffe.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Volumen als geometrischer Inhalt konkurriert mit umgangssprachlichen Begriffen wie 'Kapazität' oder 'Volumen' im Sinne von Masse und mit maßtheoretischen Verallgemeinerungen; Konflikte entstehen auch zwischen euklidischem Volumen und in anderen Metriken definierten Volumina.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Volumen ist das kanonische dreidimensionale Maß des von einer Region eingenommenen Raums: Durch Integration des Volumenelements berechnet, bildet es die Grundlage für Massen-, Kapazitäts- und Wahrscheinlichkeitsberechnungen in drei Dimensionen und unterscheidet sich von Oberflächen- und niedrigerdimensionalen Maßen.