##  [Oberflächeninhalt](/de/node/61823) 

 Definition

Das zweidimensionale Maß des Umfangs einer in den dreidimensionalen Raum eingebetteten Fläche, gegeben durch die Integration des durch die umgebende Metrik induzierten Flächenelements und ausgedrückt in Quadrateinheiten.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Der Oberflächeninhalt ergibt sich durch lokale Parametrisierung der Fläche und Integration der Norm des Kreuzprodukts der partiellen Ableitungen (oder des Flächenelements der induzierten Metrik); er hängt von der Einbettung und der Flächenmetrik ab, nicht nur von topologischen Eigenschaften.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Eine Kugel mit Radius r hat die Oberfläche 4πr², berechnet durch Integration des Flächenelements auf der Kugel oder durch Abbildung auf die Einheitskugel und Skalierung mit r².

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Die Fläche einer projektiven Ebene als Oberflächeninhalt verwenden, ohne Verzerrungen zu korrigieren, oder den Oberflächeninhalt als invariant unter beliebigen dehnenden Deformationen behandeln, die die Metrik ändern.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Korrekt bestimmter Oberflächeninhalt erlaubt die Berechnung von Flüssen, Flächenintegralen, Wärmeaustausch und oberflächenabhängigen physikalischen Größen; er ist wesentlich für die Anwendung des Divergenzsatzes und von Flächenintegralen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Anstatt eine zweidimensionale in den Raum eingebettete Fläche zu messen, nur die Fläche ihrer planaren Projektion oder nur das topologische Geschlecht zu messen; damit wird metrische Geometrie in projektive oder topologische Daten umgekehrt.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für zweidimensionale Mannigfaltigkeiten, die in den dreidimensionalen Raum eingebettet sind und hinreichend regulär sind; fraktale oder stark singuläre Flächen können ohne verallgemeinerte Maßbegriffe keinen klassischen Oberflächeninhalt besitzen.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Der Oberflächeninhalt steht im Wettstreit mit der ebenen Fläche (Fläche einer flachen Region) und mit intrinsischen Flächenbegriffen auf abstrakten Mannigfaltigkeiten; Verwirrung entsteht, wenn einbettungsabhängige Größen als intrinsisch angesehen werden.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Der Oberflächeninhalt ist das einbettungsabhängige zweidimensionale Maß einer Fläche in 3D, berechnet durch Integration des lokalen Flächenelements der umgebenden Metrik; er verbindet Geometrie mit oberflächenabhängigen physikalischen Größen und unterscheidet sich von ebenen Flächen und topologischen Invarianten.