##  [Fläche](/de/node/61821) 

 Definition

Das zweidimensionale Maß der Größe einer Region in einer Ebene, üblicherweise als Wert eines Lebesgue- oder Riemann-Integrals über diese Region angegeben und in Quadrateinheiten ausgedrückt.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Fläche wird berechnet, indem eine Region in infinitesimale Elemente zerlegt und deren Maße aufsummiert werden; für glatte Regionen ist dies gleichbedeutend mit der Integration des durch die planare Metrik induzierten Flächenelements.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Ein Kreis mit Radius r hat die Fläche πr², gewonnen durch Integration des radialen Elements oder als Grenzwert der Flächen eingeschriebener Polygone, wenn die Seitenanzahl gegen unendlich geht.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Fläche mit Umfang verwechseln (die Randlänge als Fläche behandeln) oder eine planare Flächenformel direkt auf eine gekrümmte Fläche im dreidimensionalen Raum anwenden, ohne die Flächenmetrik zu berücksichtigen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Ist die Fläche korrekt definiert und berechnet, bestimmt sie größenproportionale Quantitäten wie Masse bei konstanter Dichte, ebene Wahrscheinlichkeiten und Integraldichten über Regionen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Statt das innere Ausmaß (Fläche) zu messen, nur die eindimensionale Länge des Randes zu messen; damit verlagert sich der Fokus vom zweidimensionalen Inhalt zur eindimensionalen Messung.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für Teilmengen einer zweidimensionalen Mannigfaltigkeit mit Metrik oder Maß; pathologische Mengen (bestimmte nicht messbare Mengen, einige Fraktale) erfordern Maßtheorie und können keine klassische Fläche besitzen.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Fläche wird umgangssprachlich als 'Ausdehnung' verwendet oder formal als Maß verstanden; dies steht im Wettbewerb mit verwandten Begriffen wie Oberflächenfläche (zweidimensionales Maß einer in 3D eingebetteten Fläche) und mit maßtheoretischen Verallgemeinerungen oder Einschränkungen des klassischen Konzepts.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Fläche ist das kanonische zweidimensionale Maß der Ebenengröße: Sie wird durch Integration des Flächenelements über eine Region berechnet, bildet die Grundlage für Dichte- und Wahrscheinlichkeitsrechnungen in der Ebene und ist von Länge und Oberflächenmaßen zu unterscheiden.