##  [Ähnlichkeitstransformation](/de/node/61806) 

 Definition

Eine Abbildung, die durch Komposition von Rotationen, Translationen, Spiegelungen und einheitlichen Skalierungen (Homothetien) entsteht und Winkel sowie Längenverhältnisse zwischen Strecken erhält; sie erzeugt geometrisch ähnliche Figuren.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Eine Ähnlichkeit ist die Zusammensetzung einer Isometrie mit einer einheitlichen Skalierung: f = s ∘ g, wobei g eine Isometrie und s eine Homothetie ist. Sie erhält Winkel und multipliziert alle Abstände mit einem gemeinsamen positiven Faktor |k| (bis auf das Vorzeichen der Orientierung).

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Ein Dreieck wird zu einem ähnlichen Dreieck abgebildet, indem man um den Schwerpunkt mit k=3 skaliert und anschließend übersetzt und rotiert, um entsprechende Eckpunkte auszurichten; alle Winkelmaße bleiben gleich, während die Seitenlängen verdreifacht werden.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Anwendung nichtuniformer (richtungsabhängiger) Skalierung oder Scherung erzeugt ein affin verzerrtes Bild, das weder Winkel noch Längenverhältnisse erhält; Konfusion mit konformen Abbildungen (lokale Winkelerhaltung) ist irreführend.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Formen werden bis auf Maßstab und Isometrie erhalten; entsprechende Winkel sind gleich und Verhältnisse entsprechender Seitenlängen konstant; Ähnlichkeit bildet Äquivalenzklassen von Figuren unter Skalierung und Isometrie.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Die Inverse einer Ähnlichkeit mit nichtnuller Skala ist eine Ähnlichkeit mit dem reziproken Faktor kombiniert mit der inversen Isometrie; ein negatives k kehrt die Orientierung und skaliert zugleich.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Ähnlichkeitstransformationen bilden die Ähnlichkeitsgruppe des euklidischen Raums; sie schließen projektive Transformationen und allgemeine affine Abbildungen mit anisotroper Linearität aus; konforme Abbildungen in höheren Dimensionen sind nicht zwangsläufig globale Ähnlichkeiten.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Wird häufig mit konformen Transformationen verwechselt (die Winkel erhalten, aber nicht unbedingt globale Verhältnisse) und mit Matrizensimilarität in der linearen Algebra (ein anderes Konzept der Konjugation).

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Eine Ähnlichkeitstransformation ist die Klasse euklidischer Abbildungen, die starre Bewegung und einheitliche Skalierung kombinieren, sodass Figuren bis auf einen gemeinsamen Maßstab geometrisch gleich sind.