##  [Spiegelung](/de/node/61799) 

 Definition

Eine isometrische Abbildung, die jeden Punkt auf sein Spiegelbild an einer gegebenen Linie (in der Ebene) oder Ebene (im Raum) abbildet und den spiegelnden Unterraum punktweise festlässt.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Spiegelung ist eine involutive euklidische Isometrie, deren Fixmenge der spiegelnde Unterraum ist; algebraisch ist sie eine orthogonale lineare Abbildung mit Determinante −1 (in passender Dimension) und erfüllt R^2 = Identität.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

In der Ebene sendet Spiegelung an der x‑Achse (x,y) auf (x,−y). In R^3 spiegelt die Ebene z=0 (x,y,z) auf (x,y,−z). Matrixdarstellung: Spiegelung an der Einheitnormalen n ist I−2nn^T.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Spiegelung mit Rotation verwechseln oder annehmen, sie erhalte in allen Dimensionen die Orientierung; die Spiegelungsformel mit einer nicht normierten Normalen oder in Räumen ohne Skalarprodukt anzuwenden führt zu falschen oder nicht isometrischen Abbildungen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Spiegelung erhält Distanzen, kehrt die Orientierung um und erzeugt zusammen mit anderen Spiegelungen orthogonale Gruppen; die Komposition zweier Spiegelungen ergibt je nach Lage der Spiegel eine Drehung oder eine Translation.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Spiegelung ist ihre eigene Inverse (Involution): zweimal angewandt ergibt sich die Ausgangssituation. Zwei gleiche Spiegelungen hintereinander heben sich auf.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Definiert in euklidischen oder Skalarprodukträumen, in denen Orthogonalität und Distanz Sinn haben; in rein affinen Kontexten ohne Metrik oder dort, wo Spiegelung nicht existiert, ist sie nicht definiert.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Wird mitunter mit Kreis‑Inversionen oder affinen Symmetrien verwechselt, die einen Unterraum fixieren, aber nicht die Distanzen erhalten; Spiegelungen sind starr und isometrisch, Inversionen oder Gleitspiegelungen besitzen andere metrische oder orientierungsrelevante Eigenschaften.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Spiegelung ist die elementare Spiegel‑Isometrie: eine involutive, distanzerhaltende Abbildung, die einen Unterraum punktweise fixiert und als grundlegender Erzeuger orthogonaler Transformationen dient.