## [Perspektivische Projektion](/de/node/61795) Definition Eine Abbildung von Punkten des Raums auf Punkte einer Bildebene, bestimmt dadurch, dass jeder Szenenpunkt mit einem festen Blickpunkt verbunden und diese Gerade mit der Ebene geschnitten wird; modelliert z.B. die Lochkamera. ## Prinzip Prinzip Jeder Szenenpunkt wird entlang des Strahls durch einen festen Mittelpunkt (Blickpunkt) abgebildet; geometrisch ist dies eine projektive Abbildung, die Geraden auf Geraden abbildet, aber im euklidischen Koordinatensystem im Allgemeinen nicht linear ist; sie ist nicht definiert, wenn der Blickpunkt auf der Bildebene liegt. ## Demonstration Demonstration Lochkamera: mit Blickpunkt im Ursprung und Bildebene z=1 wird ein 3D-Punkt (X,Y,Z) (Z≠0) auf (X/Z,Y/Z,1) in homogenen Koordinaten abgebildet. Parallele Linien, die den Blickpunkt nicht treffen, erscheinen auf der Bildebene als konvergierend zu einem Fluchtpunkt. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die Perspektivprojektion als lineare euklidische Transformation behandeln oder anwenden, wenn der Blickpunkt auf der Bildebene liegt; die Annahme, Distanzen oder Flächen würden erhalten bleiben, führt zu falschen Schlussfolgerungen. ## Konsequenz Konsequenz Erzeugt Tiefenhinweise und realistische Bilder, erhält die Geradlinigkeit (Geraden gehen auf Geraden oder Punkte) und wird in der projektiven Geometrie präzise beschrieben; kombiniert mit weiteren Ansichten ermöglicht sie Rekonstruktionsverfahren. ## Umkehrung Umkehrung Von einer einzigen Bildebene ist die Abbildung generell nicht invertierbar, da die Tiefeninformation verloren geht; Umkehr erfordert zusätzliche Informationen (Stereo, bekannte Szenengeometrie) oder die Einschränkung auf den Strahl durch den Blickpunkt, um Urbilder bis auf Skalierung zu finden. ## Abgrenzung Abgrenzung Erfordert einen vom Bildebenenpunkt verschiedenen Blickpunkt; schließt parallele (orthographische) Projektionen und projektive Degenerationen aus, wenn Strahlen tangential zur Ebene sind oder der Blickpunkt im Unendlichen liegt. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Wird oft der orthographischen Projektion gegenübergestellt: Beide bilden Geraden auf Geraden ab, aber die Perspektive kodiert Tiefe durch Verkürzung und ist in kartesischen Koordinaten nicht linear, während die Orthographie parallelismuserhaltend und linear ist. ## Synthese Synthese Die perspektivische Projektion ist die grundlegende projektive Abbildung durch einen einzelnen Blickpunkt: Sie sendet Szenenpunkte entlang von Strahlen zum Bildebene und kodiert Tiefe, verliert jedoch absolute Entfernungsinformation.