## [Orthogonale Projektion](/de/node/61793) Definition Eine lineare Abbildung in einem Skalarproduktraum, die jeden Vektor auf den eindeutigen nächstgelegenen Punkt eines angegebenen linearen Teilraums abbildet, indem sie entlang orthogonaler Richtungen verschiebt. ## Prinzip Prinzip Mit einem Skalarprodukt ist die orthogonale Projektion auf einen Unterraum der idempotente, selbstadjungierte lineare Operator, dessen Bild der Unterraum und dessen Kern das orthogonale Komplement ist; sie liefert den in der Norm nächstliegenden Punkt. ## Demonstration Demonstration In R^3 mit dem Standardskalarprodukt projiziert die Projektion eines Punktes p=(x,y,z) auf die Ebene z=0 zu (x,y,0); auf die von einer Einheitsvektor u gespannten Gerade ergibt sich (u·p)u. Die Projektionsmatrix für einen Unterraum mit orthonormalen Spalten Q ist P=QQ^T, wobei P^2=P und P^T=P gilt. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die orthogonale Projektion als ohne Skalarprodukt definiert betrachten oder in der Annahme, die nächste Punkt existiere eindeutig für einen nicht abgeschlossenen Unterraum; oder dieselben Formeln in Räumen mit anderer Metrik anwenden führt zu Fehlern. ## Konsequenz Konsequenz Richtig angewandt liefert sie die nächstliegende Approximation, zerlegt Vektoren in orthogonale Komponenten, ergibt einen symmetrischen idempotenten Operator und sichert Minimierungseigenschaften (Kleinste-Quadrate-Lösungen). ## Umkehrung Umkehrung Eine allgemeine Umkehr ist nicht gegeben: Orthogonale Anteile gehen verloren, so dass man den ursprünglichen Vektor nicht aus seiner Projektion zurückgewinnen kann; die komplementäre Projektion auf das orthogonale Komplement rekonstruiert die entfernte Komponente. ## Abgrenzung Abgrenzung Voraussetzung ist eine Skalarproduktstruktur (oder ein Hilbertraum) und ein abgeschlossener linearer Unterraum für die Eindeutigkeit; in allgemeinen metrischen oder rein affinen Rahmen ohne Orthogonalitätsbegriff ist keine orthogonale Projektion definiert. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Oft wird sie mit schräger (obliquer) Projektion verwechselt (Projektion entlang eines nicht orthogonalen Komplements) oder mit nächster-Punkt-Abbildungen in nichteuklidischen Geometrien; im Gegensatz zur schrägen Projektion ist die orthogonale Projektion selbstadjungiert und distanzminimierend. ## Synthese Synthese Die orthogonale Projektion ist der kanonische nächst-Punkt-Operator in einem Skalarproduktraum: ein selbstadjungierter, idempotenter Operator, der jeden Vektor in seinen projizierten Anteil und den orthogonalen Rest zerlegt.