##  [Riemannsche Mannigfaltigkeit](/de/node/61783) 

 Definition

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, auf der jedem Tangentialraum glatt ein positiv-definites Skalarprodukt zugeordnet ist; dieses definiert Längen von Tangentenvektoren und induziert Abstände und Winkel auf der Mannigfaltigkeit.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Jedem Punkt eine symmetrische, bilineare, positiv-definite Form auf dem Tangentialraum zuordnen, die glatt vom Punkt abhängt; diese riemannsche Metrik strukturiert die lokale lineare Geometrie und ermöglicht die Definition von Verbindung und Krümmung.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Die 2-Sphäre in Euklidischem R^3 mit der durch das Standardskalarprodukt induzierten Metrik: jeder Tangentialebene wird das eingeschränkte Skalarprodukt zugewiesen, wodurch Großkreise lokal geodätische Längen minimieren.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Eine Mannigfaltigkeit als riemannsch bezeichnen, obwohl die punktweisen Formen indefinit sind (dann handelt es sich um eine pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit), oder nur eine stetige statt glatte Form annehmen, wodurch differenzierbare Konstruktionen versagen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Es ergeben sich wohldefinierte lokale Längen, Winkel, die Levi-Civita-Zusammenhang, Geodäten, Krümmungstensoren und eine Abstands-Funktion kompatibel mit der Topologie; Analyse und Geometrie (Laplacian, Volumenform) folgen aus der Metrik.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Wegnahme der Positiv-Definitheit führt zu pseudo-riemannscher Geometrie mit kausaler Struktur; Wegnahme der Glattheit liefert metrische Begriffe ohne differenzierbare Werkzeuge; nur die topologische Mannigfaltigkeit zu betrachten entfernt metrikabhängige Invarianten wie die Krümmung.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für glatte (C^k, meist C^∞) Mannigfaltigkeiten mit einer positiv-definiten riemannschen Metrik; schließt indefinit-metrische Mannigfaltigkeiten, rein topologische Mannigfaltigkeiten ohne gewählte Metrik und diskrete metrische Räume aus.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung gegenüber dem abstrakten Begriff eines metrischen Raums: nicht jede Metrik auf einer Mannigfaltigkeit stammt von einer riemannschen Metrik; Spannung auch gegenüber dem Riemannschen Krümmungstensor und pseudo-riemannschen Strukturen in der Relativität.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Eine riemannsche Mannigfaltigkeit ist eine glatte Mannigfaltigkeit mit einem glatt variierenden positiv-definiten inneren Produkt auf jedem Tangentialraum, das die lokalen metrischen Daten liefert, aus denen Längen, Winkel, Geodäten und Krümmung folgen.