##  [Kuspidalpunkt](/de/node/61738) 

 Definition

Eine spitze Singularität auf einer Kurve oder Grenze, bei der die Glattheit versagt, weil zwei Tangentialrichtungen in eine einzige mit höherem Kontakt zusammenfallen; die Kurve ist dort nicht regulär und die Krümmung läuft typischerweise ins Unendliche.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Ein Kuspidalpunkt entsteht, wenn eine Parametrisierung höherordentlich verschwindende Ableitungen aufweist (z. B. t↦(t^2,t^3) bei t=0), so dass Zweige mit zusammenfallenden Tangenten zusammentreffen und die übliche glatte Mannigfaltigkeitsstruktur bricht.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Beispiel: Die halb-kubische Parabel y^2=x^3 hat in der Ursprung einen Kuspidalpunkt; die Kurve besitzt eine einzige Tangentenrichtung, ist aber als reguläre eingebettete glatte Kurve dort nicht differenzierbar.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Jedes scharfe Eck oder jede Ecke als Kuspidalpunkt zu bezeichnen; Ecken haben verschiedene einseitige Tangenten (Winkelstörung), wohingegen ein Kuspidalpunkt zusammenfallende Tangenten und höherordentlichen Kontakt aufweist.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Kuspidalpunkte verändern lokale geometrische und analytische Eigenschaften: Krümmung und Bogenlängenparametrisierungen verhalten sich singulär, lokale Schnittmultiplikitäten steigen, und die Klassifikation in der Singularitätstheorie (A2-Typ) greift.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Ein Knoten oder transversales Schneiden ist das Gegenstück: Zweige schneiden sich mit verschiedenen Tangenten und die Singularität ist einfacherer Schnitttyp statt cuspidalem höherem Kontakt.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt vor allem für ebene algebraische oder analytische Kurven und für Fragen zur Randregularität; schließt gewöhnliche Ecken, Kreuzungen und Tacnodes höherer Multiplizität aus, die anderen Singularitätsklassen angehören.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zwischen Kuspidalpunkt und Eckbegriff in Geometrie und PDE-Regularität: Beide erscheinen 'spitz', besitzen jedoch unterschiedliche analytische Kennzeichen (höherordiges Verschwinden vs. Winkelstörung).

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Ein Kuspidalpunkt ist eine Spitzensingularität mit höherordentlichem Kontakt, bei der Ableitungen verschwinden und Zweige tangential verschmelzen; es ist ein nichtregulärer Punkt mit starken geometrischen und analytischen Folgen, unterscheidbar von Ecken oder Kreuzungen.