## [Hebbare Singularität](/de/node/61733) Definition Ein isolierter Singulärpunkt a einer komplexen Funktion f, an dem f so umdefiniert oder fortgesetzt werden kann, dass die fortgesetzte Funktion in einer Umgebung von a analytisch (holomorph) ist. ## Prinzip Prinzip Eine Singularität ist genau dann hebbar, wenn der Hauptteil der Laurententwicklung um diesen Punkt verschwindet (äquivalent: f ist in einer gelochten Umgebung beschränkt oder der Grenzwert von f(z) für z→a existiert); die Fortsetzung ist eindeutig. ## Demonstration Demonstration Beispiel: f(z)=sin(z)/z hat eine Singularität bei z=0, aber die Laurentreihe enthält keine negativen Terme im verbleibenden Hauptteil; durch Setzen von f(0)=1 erhält man eine analytische Fortsetzung in 0. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Zu behaupten, jeder isolierte Punkt, an dem f entlang einiger Folgen beschränkt ist, sei hebbar; Beschränktheit entlang Folgen reicht nicht — es bedarf Beschränktheit in einer gelochten Umgebung oder des verschwindenden Hauptteils. ## Konsequenz Konsequenz Ist eine Singularität korrekt als hebbar klassifiziert, so lässt sie sich entfernen und die Funktion wird auf einem größeren Gebiet holomorph; die analytische Fortsetzung bleibt erhalten und der Residuenwert ist null. ## Umkehrung Umkehrung Die Umkehr sind Pole oder essentielle Singularitäten: Ein Pol zeigt einen echten, endlichen Hauptteil an, eine essentielle Singularität eine unendliche Reihe negativer Potenzen in der Laurentreihe. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt nur für isolierte Singularitäten einstufiger (einwertiger) analytischer Funktionen; nicht anwendbar auf Verzweigungspunkte, Anhäufungen von Singularitäten oder mehrwertige Verzweigungsverhalten. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannungsfeld zwischen ‚hebbar‘ und scheinbar beschränkten aber nicht fortsetzbaren Verhaltensweisen sowie zwischen hebbar und Pol, wenn Grenzwerte endlich versus unendlich sind; Unterscheidung der Beschränktheit in einer gelochten Umgebung ist essenziell. ## Synthese Synthese Eine hebbare Singularität ist eine isolierte Stelle, an der das analytische Hindernis nur ein Definitionsloch ist: der Laurent-Hauptteil fehlt, sodass eine eindeutige holomorphe Fortsetzung die lokale Regularität wiederherstellt.