##  [Wavelet-Transformation](/de/node/61692) 

 Definition

Eine Zeit–Frequenz-Transformation, die Funktionen oder Signale mittels Translationen und Skalierungen einer Mutterwavelet darstellt und so lokalisierte Analyse in Zeit und Skala (Frequenz) ermöglicht, mit kontinuierlichen oder diskreten Koeffizienten je nach Abtastung.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Mehrskalenprinzip und Lokalität: Ein admissibles Mutterwavelet ψ erzeugt das affine System ψ_{a,b}(t)=|a|^{-1/2}ψ((t-b)/a); Skalarprodukte mit diesen Atomen liefern Koeffizienten, die lokale Struktur auf Skala a und Position b erfassen; Admissibilität sichert die Rekonstruktionsfähigkeit.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Die kontinuierliche Wavelet-Transformation eines Chirps zeigt zeitvariierende Instantanfrequenz durch große Koeffizienten nahe passenden Skalen und Positionen; die diskrete orthonormale Wavelet-Transformation liefert für stückweise reguläre Signale dünne Repräsentationen, nützlich für Kompression und Entrauschung.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Ein nicht-admissibles Kern wählen und perfekte Rekonstruktion erwarten, Koeffizienten einer orthonormalen Wavelet wie aus der kontinuierlichen Transformierten behandeln ohne Abtastanpassung, oder Koeffizienten überinterpretieren ohne Rand- und Abtastauflösung zu berücksichtigen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Bietet sparsame, lokalisierte Repräsentationen, besonders geeignet für transiente Merkmale: effektives Entrauschen, Kompression, Kantendetektion und zeitvariierende Spektralanalyse; die Mehrskalenstruktur erleichtert hierarchische Algorithmen und schnelle Transformationen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Das Gegenstück betont globale Frequenzauflösung (Fourier) und vernachlässigt Zeitlokalisation; übermäßige Skalenlokalisation opfert Frequenzpräzision und kann langreichweitige periodische Strukturen übersehen.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Benötigt Admissibilität (oder geeignetes diskretes Filterbank-Design) und Arbeit in L2 oder passenden Distributionsräumen; kontinuierliche vs. diskrete Formen unterscheiden sich in Redundanz, Invertierbarkeit und numerischer Implementierung; die Wahl der Mutterwavelet ist entscheidend.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zwischen Wavelet-Transformationen und fensterbasierten Fourier-Methoden: Wavelets passen die Fenstergröße der Frequenz an (gute Zeitlokalisation bei hohen Frequenzen, gute Frequenzlokalisation bei tiefen), während die STFT die Auflösung festlegt.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Wavelet-Transformationen verwenden Dilatationen und Translationen einer admissiblen Mutterwavelet, um skalen- und zeitlokalisierte Koeffizienten zu erzeugen und so eine Mehrskalenanalyse zu ermöglichen, die transiente und hierarchische Strukturen für Analyse, Kompression und Entrauschung erfasst.