## [Fourierreihe](/de/node/61690) Definition Die Darstellung einer periodischen Funktion als (möglicherweise unendliche) Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen oder komplexen Exponentialen, deren Koeffizienten durch Skalarprodukte mit der orthogonalen Exponentialbasis auf dem Kreis bestimmt werden. ## Prinzip Prinzip Die Orthogonalität der Exponentialfunktionen auf einem Periodenintervall liefert die Koeffizienten durch Integrale; Vollständigkeit in L2 des Kreises sichert, dass jede quadratintegrierbare periodische Funktion eine Fourier-Reihe hat, die in L2 konvergiert, stärkere Voraussetzungen liefern punktweise oder gleichmäßige Konvergenz. ## Demonstration Demonstration Eine 2π-periodische Sägezahnfunktion lässt sich in eine Fourier-Reihe expandieren, deren Partialsummen die Funktion annähern, aber in der Nähe von Sprungstellen das Gibbs-Phänomen zeigen; für glatte Funktionen fallen die Koeffizienten schnell ab. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Termeweise Operationen (Differentiation, Integration, Multiplikation) ohne Prüfung gleichmäßiger Konvergenz oder Summierbarkeitsbedingungen zu vertauschen, oder aus L2-Daten punktweise Konvergenz überall zu folgern. ## Konsequenz Konsequenz Lieferung spektraler Koeffizienten, die den Frequenzinhalt periodischer Signale kodieren, Ermöglichung der Lösung von PDEs mit periodischen Randbedingungen und nützliche Werkzeuge für Approximation, Filterung und Signalrepräsentation. ## Umkehrung Umkehrung Umgekehrt werden nichtperiodische Signale durch Fourier-Transformationen statt durch diskrete Spektren dargestellt; die Beschränkung auf eine endliche Anzahl von Moden ergibt Tiefpass-Approximationen, die hochfrequente Details verlieren. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt für periodische Funktionen oder Funktionen auf dem Kreis; unterschiedliche Konvergenzbegriffe (punktweise, gleichmäßig, L2, distributionell) sind relevant und die Reihe kann an Diskontinuitäten nicht punktweise konvergieren; nichtperiodische Funktionen benötigen Transformationen. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannung zwischen Konvergenzbegriffe (gleichmäßig vs L2 vs punktweise) und zwischen endlicher Abschneidung (Approximation) und exakter unendlicher Darstellung; auch Spannung zwischen Fourier-Reihen und diskreten numerischen Fourier-Methoden. ## Synthese Synthese Fourier-Reihen zerlegen periodische Funktionen in orthogonale Exponentialmoden, deren Koeffizienten Glattheit und Energielenkung widerspiegeln und so die Verbindung zwischen zeitlichem periodischen Verhalten und Frequenzanalyse für Theorie und Berechnung herstellen.