## [Satz der Offenen Abbildung](/de/node/61686) Definition In Banachräumen: jeder surjektive stetige lineare Operator zwischen Banachräumen bildet offene Mengen auf offene Mengen ab; äquivalent dazu: ein surjektiver beschränkter linearer Operator sendet eine Umgebung von 0 im Definitionsbereich auf eine Umgebung von 0 im Zielbereich. ## Prinzip Prinzip Surjektivität zusammen mit Vollständigkeit zwingt die Bilder von Umgebungen dazu, Umgebungen zu enthalten, sodass der Operator offene Mengen nicht auf dünne, niedrigerdimensionale Mengen zusammenfallen lassen kann; die Vollständigkeit ist essentiell für das Baire-Kategorie-Argument des Satzes. ## Demonstration Demonstration Für einen surjektiven stetigen linearen Operator T:X→Y zwischen Banachräumen existiert ε>0 derart, dass T die Einheitskugel in X auf ein Set abbildet, das die ε-Kugel in Y enthält. Praktisch ist dies die Grundlage des Satzes über die beschränkte Inverse: ein bijektiver beschränkter linearer Operator zwischen Banachräumen besitzt eine beschränkte Inverse. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Anwendung des Satzes auf Operatoren, die nicht surjektiv, nicht linear oder zwischen nicht-vollständigen normierten Räumen liegen: jede dieser Verletzungen kann die Offenheit zunichtemachen. Ein surjektiver stetiger Operator aus einem unvollständigen normierten Raum muss nicht offen sein. ## Konsequenz Konsequenz Sichert, dass surjektive stetige lineare Abbildungen Offenheit bewahren, liefert als Folgerung den Satz über die beschränkte Inverse und ist ein fundamentales Strukturresultat, das lokale Eigenschaften durch lineare Surjektionen in der Funktionalanalysis überträgt. ## Umkehrung Umkehrung Ist ein Operator nicht offen, so kann er nicht surjektiv sein oder aus einem unvollständigen Definitionsbereich stammen; die Negation weist auf das Zusammenfallen von Umgebungen hin und reflektiert oft das Fehlen von Surjektivität oder das Versagen der Vollständigkeit. ## Abgrenzung Abgrenzung Voraussetzungen sind Linearität, Stetigkeit (Beschränktheit), Surjektivität sowie vollständige (Banach-)Räume für Domain und Codomain. Der Satz gilt nicht allgemein für nichtlineare Abbildungen oder für Abbildungen zwischen Nicht-Banach-Räumen. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Eng verwandt mit dem abgeschlossenen-Graphen- und dem Uniform-Boundedness-Satz: zusammen bilden sie das Grundgerüst der Banachraumtheorie, doch jeder adressiert ein anderes Phänomen — Offenheit, Geschlossenheit des Graphen bzw. Normkontrolle. ## Synthese Synthese Der Satz der offenen Abbildung besagt, dass surjektive beschränkte lineare Operatoren zwischen Banachräumen offene Mengen auf offene Mengen abbilden; eine von Vollständigkeit getragene Aussage, die Nachbarschaftsbilder sichert, die beschränkte Inverse begründet und lokale topologische Struktur unter linearen Surjektionen erhält.