## [Bolzano-Weierstrass-Satz](/de/node/61681) Definition Im euklidischen Raum: jede beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge; äquivalent: jede unendliche beschränkte Teilmenge hat einen Häufungspunkt. ## Prinzip Prinzip Beschränktheit erzwingt Rekurrenz oder Akkumulation in endlichdimensionalen metrischen Räumen, sodass unendliche Folgen nicht ins Unendliche entweichen und sich an einem Punkt häufen müssen. ## Demonstration Demonstration Eine Folge in [0,1] besitzt eine konvergente Teilfolge durch wiederholtes Halbieren des Intervalls, das unendlich viele Folgenglieder enthält (Argument der verschachtelten Intervalle). In R^n projiziert man auf Koordinaten, wählt konvergente Teilfolgen für jede Koordinate und gewinnt so eine konvergente Teilfolge in R^n. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die Eigenschaft irrtümlich auf unendlichdimensionale Räume oder nicht-metrische Topologien übertragen: in vielen unendlichdimensionalen Banachräumen brauchen beschränkte Folgen keine konvergenten Teilfolgen zu besitzen; zusätzliche Kompaktheitsannahmen sind nötig. ## Konsequenz Konsequenz Lieferte ein grundlegendes Kriterium für Folgenkompaktheit, stützt Beweise des Heine-Borel-Satzes und vieler Kompaktheitsargumente und sichert die Existenz von Grenzwerten für Teilfolgen in beschränkten Situationen. ## Umkehrung Umkehrung Die Umkehrung lautet: besitzt jeder beschränkten Folge eine konvergente Teilfolge, so ist der Raum folgensequentiell kompakt; folgensequentielle Kompaktheit kann jedoch in nicht-metrischen Räumen von Kompaktheit abweichen. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt für R^n und allgemein für metrische Räume, in denen Kompaktheit und Folgenkompaktheit zusammenfallen; gilt nicht in beliebigen topologischen Vektorräumen oder für Folgen in unendlichdimensionalen Umgebungen ohne weitere Struktur. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannung gegenüber Vollständigkeit und dem Verhalten von Cauchy-Folgen: Bolzano-Weierstrass behandelt Teilfolgenkonvergenz beschränkter Folgen, während Vollständigkeit die Konvergenz von Cauchy-Folgen garantiert; beide Konzepte sind verwandt, aber unterschiedlich. ## Synthese Synthese Der Satz fasst zusammen, dass in endlichdimensionalen Räumen Beschränktheit die Existenz von Häufungspunkten erzwingt: jede beschränkte Folge in R^n besitzt eine konvergente Teilfolge, eine fundamentale Aussage der sequentiellen Analysis.