##  [Cauchyscher Mittelwertsatz](/de/node/61677) 

 Definition

Verallgemeinerung des Mittelwertsatzes: Sind f und g auf [a,b] stetig und auf (a,b) differenzierbar, so gibt es c in (a,b) mit (f(b)-f(a)) g'(c) = (g(b)-g(a)) f'(c); äquivalent existiert c, an dem das Verhältnis der Differenzen dem Verhältnis der Ableitungen entspricht, falls g'(c)≠0.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Der Vergleich zweier differenzierbarer Funktionen über dasselbe Intervall liefert einen Punkt, an dem sich ihre Verhältnisse der mittleren Änderungsraten angleichen; durch algebraische Eliminierung einer geeigneten Linearkombination entsteht der Existenzpunkt.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Beispiel: f(x)=sin x und g(x)=x auf [0,π]; dann ist f(b)-f(a)=0 und g(b)-g(a)=π, somit garantiert der Satz einen c mit 0·g'(c)=π f'(c), also f'(c)=0; tatsächlich gilt bei c=π/2 cos(π/2)=0, ein konkretes Beispiel.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Die Schlussfolgerung als f'(c)/g'(c)=(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a)) umzuformen, ohne zu prüfen, dass g'(c) oder g(b)-g(a) ungleich null sind, kann zu Divisionen durch Null führen; Anwendung des Satzes bei Verletzung der Voraussetzungen (z. B. Nichtdifferenzierbarkeit) ist ebenfalls ein häufiger Missbrauch.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Dient als Werkzeug zur Herleitung der Regel von L'Hôpital, zum Vergleich von Wachstumsraten und zum Aufstellen von Identitäten oder Ungleichungen, die Differenzen und Ableitungen gepaarter Funktionen verbinden.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Die Existenz eines Punktes, an dem das Verhältnis der Ableitungen einem bestimmten Wert entspricht, impliziert nicht allgemein eine vorgeschriebene Beziehung zwischen den globalen Differenzen; der Satz behauptet Existenz unter den gegebenen Voraussetzungen, nicht eine umkehrbare globale Äquivalenz.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für Paare reellwertiger Funktionen, die auf [a,b] stetig und auf (a,b) differenzierbar sind. Die Quotientenform ist mit Vorsicht zu interpretieren, wenn Nenner verschwinden; Erweiterungen auf vektorwertige Funktionen erfordern angepasste Formulierungen.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Bezieht sich auf den klassischen Mittelwertsatz: Der gewöhnliche MWS ist der Spezialfall g(x)=x. Spannung entsteht, wenn Caychys Schlussfolgerung als punktweises Identitätsverhältnis anstatt als Existenzbehauptung für ein c in (a,b) missverstanden wird.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Der cauchysche Mittelwertsatz identifiziert einen Synchronisationspunkt, an dem die relativen Differenzen zweier differenzierbarer Funktionen mit ihren relativen momentanen Änderungsraten übereinstimmen; er verallgemeinert den Einzel‑Funktions‑Mittelwertsatz und bildet die Grundlage für Vergleichsprinzipien wie L'Hôpital.