##  [Modul der Stetigkeit](/de/node/61662) 

 Definition

Eine Funktion ω: [0,∞) → [0,∞), die jeder Skala δ das Supremum von |f(x)-f(y)| über alle Paare mit Abstand ≤ δ zuordnet; sie quantifiziert die maximale Oszillation von f auf dieser Skala.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Uniforme Kontrollgrößen der Variationen nach Skalen charakterisieren: kleine Werte ω(δ) für kleine δ drücken gleichmäßige Stetigkeit aus; spezielle Wachstumsformen (z. B. ω(δ)=Lδ) kennzeichnen Lipschitz- oder Hölder-Regularität.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Bei einer Lipschitz-Funktion mit Konstante L ist das Modulus ω(δ)=L·δ. Für f(x)=√x auf [0,1] ist ein zulässiges Modulus ω(δ)=√δ, was Hölder-1/2-Verhalten anzeigt.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Das globale Supremum durch punktweise Oszillation verwechseln oder das Modulus mit einer Ableitung gleichsetzen; ebenso ungeprüft eine Form von ω annehmen ohne Supremumsberechnung.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Ein Modulus ω mit ω(δ)→0 für δ→0 ist äquivalent zur gleichmäßigen Stetigkeit; explizite Modi liefern quantitative Konvergenzraten für Approximationen und kontrollieren Fehler in numerischen Verfahren.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Statt die maximale Oszillation auf Skala δ zu messen, minimale Oszillationen oder punktweise Raten zu betrachten erfasst nicht das globale gleichmäßige Verhalten und kann trivialerweise verschwinden.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Definiert für Funktionen auf metrischen Räumen, in denen Paarabstände sinnvoll sind; abhängig von der Metrik und liefert keine direkten Aussagen zur Differenzierbarkeit oder zum lokalen Verhalten jenseits der skalenbasierten Oszillation.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zum punktweisen Kontinuitätsmodul: Das globale Modulus verlangt gleichmäßige Kontrolle über den gesamten Definitionsbereich, während punktuelle Varianten nur lokale Raten wiederspiegeln und abweichen können.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Das Stetigkeitsmodul fasst die skalenabhängige maximale Oszillation einer Funktion in der monotonen Funktion ω(δ) zusammen; ihr Verhalten für kleine δ trennt gleichmäßige Stetigkeit von feineren Regularitätsklassen wie Lipschitz oder Hölder.