## [Operatornorm](/de/node/61661) Definition Eine Norm auf dem Raum der beschränkten linearen Operatoren zwischen normierten Vektorräumen, definiert als Supremum der Normen der Bilder über alle Einheitsvektoren; äquivalent die kleinste Konstante C mit ||T x|| ≤ C ||x|| für alle x. ## Prinzip Prinzip Die Größe eines Operators durch seine maximale Streckung von Einheitsvektoren ordnen; diese induzierte Norm ist submultiplikativ und mit den zugrundeliegenden Vektornormen verträglich. ## Demonstration Demonstration Für eine Matrix als Abbildung auf R^n mit euklidischer Norm ist die Operatornorm gleich der größten Singulärwert: ||A||2 = sup_{||x||2=1} ||Ax||2 = σ_max(A). ## Fehlanwendung Fehlanwendung Eine zeilen- oder spaltenbasierte Eintragsnorm (z. B. maximale Zeilensumme) fälschlich mit der Operatornorm gleichsetzen ohne Angabe der Vektornormen, oder versuchen, eine Operatornorm für einen unbeschränkten Operator ohne Domänenbetrachtung zu verwenden. ## Konsequenz Konsequenz Endliche Operatornorm bedeutet Stetigkeit und Beschränktheit des Operators; Normen definieren eine Operator-Topologie, liefern ||ST|| ≤ ||S|| ||T|| und kontrollieren Fehlerfortpflanzung in numerischen Verfahren. ## Umkehrung Umkehrung Setzt man statt des Supremums ein Infimum (minimale Verstärkung auf Einheitsvektoren), ergibt sich meist Null und es wird keine globale Größe gemessen; die Betrachtung der Norm des Inversen kehrt den Blick auf Invertierbarkeit um. ## Abgrenzung Abgrenzung Definiert für beschränkte lineare Operatoren zwischen normierten Räumen; gilt nicht ohne Weiteres für nichtlineare oder unbeschränkte Operatoren ohne Domänenangaben und hängt von der Wahl der Vektornormen ab. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannung zu eintragsbezogenen Matrixnormen: Die Operatornorm misst die Wirkung auf Vektoren bezogen auf gewählte Vektornormen, während Eintragsnormen Koeffizienten bewerten und Operatoren unterschiedlich einordnen können. ## Synthese Synthese Die Operatornorm fasst die maximale Wirkung einer beschränkten linearen Abbildung bezüglich gegebener Normen in einer submultiplikativen Zahl zusammen und charakterisiert Stetigkeit, Stabilität und Kompositionsverhalten.