##  [Halbnorm (Seminorm)](/de/node/61660) 

 Definition

Eine Halbnorm p auf einem Vektorraum ist ein nichtnegatives Funktional, das absolute Homogenität p(αv)=|α|p(v) und Subadditivität p(u+v)≤p(u)+p(v) erfüllt, aber auf nichttrivialen Vektoren verschwinden kann (sein Kern kann nicht trivial sein), sodass positive Definitheit nicht gefordert ist.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Organisierende Idee: Eine Halbnorm misst Größe bis auf einen möglichen Nullunterraum; sie bewahrt Skalierung und Subadditivität, erlaubt aber einen nichttrivialen Kern und eignet sich daher zur Erzeugung lokal konvexer Topologien durch Familien von Halbnormen.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Beispiel: Auf dem Raum stetiger Funktionen C(R) definiere p(f)=|f(0)|. p ist eine Halbnorm: homogen und subadditiv, aber p(f)=0 für jede Funktion, die in 0 verschwindet, sodass nicht‑null Funktionen Null‑Halbnorm haben können. Familien solcher Halbnormen definieren Standardtopologien auf Räumen glatter Funktionen oder Distributionen.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Eine Halbnorm wie eine Norm zu verwenden, wenn Invertibilität oder Eindeutigkeit benötigt werden; z. B. aus p(f)=0 f=0 zu folgern führt zu falschen Schlüssen. Ein weiterer Missbrauch ist das Ignorieren des Kerns beim Bilden von Quotientenräumen, wo man durch den Kern faktorisieren muss.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Halbnormen erlauben flexible topologische Konstruktionen: endliche oder gerichtete Familien von Halbnormen erzeugen lokal konvexe Topologien, Dualitätsrahmen und Distributionsräume. Das Bilden des Quotienten nach dem Kern wandelt eine Halbnorm in eine echte Norm um.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Die Umkehrung ist eine Norm, eine Halbnorm mit trivialem Kern (p(v)=0 nur für v=0). Wo eine Halbnorm bestimmte Richtungen nicht erkennt, erkennt eine Norm jeden nicht‑null Vektor.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Definiert auf Vektorräumen und verlangt Homogenität sowie Subadditivität; positive Definitheit ist nicht Voraussetzung. Halbnormen unterscheiden sich von Quasinormen (welche die Dreiecksungleichung abschwächen) und von Gauges, denen Homogenität fehlen kann.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung besteht zwischen Halbnormen und Normen und zwischen einzelnen Halbnormen und Familien: eine einzelne Halbnorm bietet wenig Trennung, während eine trennende Familie von Halbnormen eine Hausdorff‑Topologie erzeugen kann. Man muss den Kern einer Halbnorm von echten Nullvektoren unterscheiden.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Eine Halbnorm ist ein Größenmaß auf einem Vektorraum, das Skalierung und Subadditivität respektiert, aber auf einem Unterraum verschwinden kann; in Familien erzeugt sie die lokal konvexen Topologien, die in der Funktionalanalysis zentral sind.