## [Stetigkeit](/de/node/61646) Definition Eigenschaft einer Funktion an einem Punkt (oder auf einer Menge), dass beliebig kleine Änderungen der Eingabe zu beliebig kleinen Änderungen der Ausgabe führen; formell in metrischen Räumen: für jeden Punkt x0 und jedes ε>0 existiert δ>0 mit d(x,x0)<δ ⇒ d(f(x),f(x0))<ε. ## Prinzip Prinzip Lokale Steuerung der Ausgabe durch die Eingabe: In einer hinreichend kleinen Umgebung eines Punktes lässt sich die Variation der Funktion durch Wahl eines passenden δ(ε,x0) begrenzen. ## Demonstration Demonstration Die Sinusfunktion ist auf R überall stetig: zu jedem x0 und ε>0 gibt es ein δ, sodass |sin x - sin x0|<ε für |x-x0|<δ gilt. Die Heaviside-Stufenfunktion ist in 0 unstetig. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Kontinuität als Garantie für gleichmäßige Schranken über den ganzen Definitionsbereich zu verstehen (Verwechslung mit gleichmäßiger Stetigkeit) oder anzunehmen, dass Stetigkeit auf nichtkompakten Mengen Beschränktheit impliziert. ## Konsequenz Konsequenz Stetige Funktionen erhalten Grenzwerte und Zusammenhang, und auf kompakten Mengen sind sie beschränkt und erreichen Extrema. Stetigkeit ist unter Addition, Multiplikation und Verkettung erhalten. ## Umkehrung Umkehrung Eine unstetige Funktion besitzt mindestens einen Punkt, an dem beliebig kleine Eingabeveränderungen einen Sprung oder sonstige nicht verschwindende Ausgabeveränderung bewirken; Unstetigkeit ist die Verneinung der lokalen ε–δ-Eigenschaft. ## Abgrenzung Abgrenzung Benötigt eine topologische oder metrische Struktur, um »klein« zu definieren; Aussagen über Stetigkeit müssen Definitions- und Zielraum spezifizieren. Hier wird die schwächere Sichtweise wie »Stetig fast überall« nicht ohne Zusatz eingeschlossen. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Wird oft mit gleichmäßiger Stetigkeit oder Differenzierbarkeit verwechselt: Stetigkeit ist eine schwächere Bedingung, und die Verwendung des gleichen Begriffs für punktuelle und globale Varianten führt ohne Präzisierung zu Missverständnissen. ## Synthese Synthese Stetigkeit ist die lokale ε–δ-Bedingung, die sicherstellt, dass Ausgaben bei ausreichend kleinen Änderungen der Eingaben beliebig klein bleiben; sie bildet die Grundlage für stärkere Regularitäts- oder globale Eigenschaften.