##  [Partielle Integration](/de/node/61634) 

 Definition

Die Identität, die das Integral eines Produktes von Funktionen in einen Randterm minus das Integral der einen Funktion mal der Ableitung der anderen umwandelt: ∫ u dv = uv − ∫ v du, gültig unter geeigneten Differenzierbarkeits- und Integrierbarkeitsbedingungen.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Sie ist die Integralgestalt der Produktregel: da (uv)' = u'v + uv' ist, ergibt die Integration beider Seiten die partielle Integrationsformel; die Methode tauscht die Ableitung eines Faktors gegen das Integrieren des anderen.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Um ∫ ln(x) dx auf (1,a) zu berechnen, wähle u = ln(x), dv = dx. Dann ist du = dx/x und v = x, sodass ∫ ln(x) dx = x ln(x) − ∫ x·(1/x) dx = x ln(x) − x + C.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Partielle Integration anzuwenden, ohne sicherzustellen, dass der Randterm uv endlich ist oder dass v und du integrierbar sind; wiederholte Anwendung ohne Verbesserung der Integrierbarkeit kann divergente oder undefinierte Ausdrücke erzeugen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Korrekt angewandt vereinfacht partielle Integration Integrale, liefert Reduktionen für Spezialfunktionen, ermöglicht schwache Formulierungen von Differentialgleichungen und ist Grundlage für distributions-theoretische Ableitungen und Sobolev-Räume.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Die Umkehrperspektive besteht darin, die Produktregel aus der Integralidentität herzuleiten oder partielle Integration als Integration der Ableitung eines Produkts zu sehen; das Weglassen der Randterme kehrt die Gleichheit um, indem fehlende Begrenzungsbeiträge entstehen.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Erfordert, dass u absolut stetig ist (oder differenzierbar mit integrierbarer Ableitung) und v eine Stammfunktion von dv mit geeigneter Integrierbarkeit ist, sodass uv und ∫ v du definiert sind; gilt nicht naiv für rein distributionale Faktoren ohne Neuinterpretation.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zwischen partieller Integration als formaler algebraischer Manipulation und ihrer rigorosen Verwendung in Räumen schwacher Ableitungen: in der klassischen Analysis sind Randverhalten und Integrierbarkeit explizit, in der Sobolev-Theorie wird IPP als Dualität formuliert.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Partielle Integration wandelt ein Produktintegral mittels Produktregel in Randterme und ein einfacheres Integral um; ihre rigorose Anwendung hängt vom Verhalten an den Grenzen und der Integrierbarkeit ab und verbindet elementare Analysis mit schwachen Ableitungsräumen.