## [Punktweise Konvergenz](/de/node/61625) Definition Eine Folge (oder Netz) von Funktionen f_n konvergiert punktweise gegen f auf einer Menge D, wenn für jedes x in D die Folge der Skalare f_n(x) gegen f(x) konvergiert; die Konvergenz wird an jedem Punkt unabhängig geprüft. ## Prinzip Prinzip Lokales Auswertungsprinzip: Konvergenz wird durch das Verhalten an einzelnen Punkten bestimmt, ohne Uniformitätsforderung über den gesamten Definitionsbereich; verschiedene Punkte können mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten oder zu unterschiedlichen Zeitpunkten konvergieren. ## Demonstration Demonstration Beispiel: auf [0,1] konvergiert f_n(x)=x^n punktweise zur Funktion f mit f(x)=0 für 0≤x<1 und f(1)=1; für jedes feste x<1 geht f_n(x) gegen 0, für x=1 gegen 1. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Grenzwert und Integral oder Ableitung allein aufgrund punktweiser Konvergenz zu vertauschen; davon auszugehen, dass Stetigkeit, Integrierbarkeit oder uniforme Eigenschaften auf den Grenzwert übergehen ohne zusätzliche Hypothesen. ## Konsequenz Konsequenz Punktweise Konvergenz liefert eine wohldefinierte Grenzfunktion, garantiert jedoch nicht die Erhaltung von Stetigkeit, uniformer Konvergenz oder Integrabilität; sie reicht für punktweise definierte Operationen, ist aber schwach für globale Eigenschaften. ## Umkehrung Umkehrung Uniforme Konvergenz verstärkt punktweise Konvergenz, indem sie eine einheitliche Schranke verlangt, die sup_x|f_n(x)-f(x)|→0 erzwingt; punktweise Konvergenz kann ohne jedwede uniforme Kontrolle auftreten. ## Abgrenzung Abgrenzung Hängt von der Indexmenge und der Topologie des Definitionsbereichs ab; punktweise Konvergenz ignoriert Ausnahmen auf Nullmengen, sofern nicht die fast überall Konvergenz betrachtet wird, und macht keine Aussage über Konvergenzraten. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Steht im Spannungsfeld zu fast-überall-Konvergenz (Maßtheorie) und zur uniformen Konvergenz (Analysis); die Spannungen treten beim Abwägen auf, welche Konvergenzart zum Austausch von Grenzwerten geeignet ist. ## Synthese Synthese Punktweise Konvergenz erfasst die einfachste Form der Funktionskonvergenz – Grenzverhalten an jedem Punkt separat – und bildet die Grundlage, die bei Bedarf durch stärkere Konvergenzbegriffe ergänzt werden muss, um globale analytische Eigenschaften zu sichern.