##  [Hilbertraum](/de/node/61623) 

 Definition

Ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt, der bezüglich der durch dieses Skalarprodukt induzierten Metrik vollständig ist; kurz: ein vollständiger Innenprodukt-Raum, wobei das Skalarprodukt Norm und Topologie bestimmt.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Das Skalarprodukt verleiht eine geometrische Struktur (Winkel, Orthogonalität, Normen) und Vollständigkeit stellt sicher, dass Cauchy-Folgen im Raum konvergieren; zusammen erlauben diese Eigenschaften orthonormale Entwicklungen und Projektionsargumente.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Beispiele sind der euklidische Raum R^n mit Standardskalarprodukt, der Folgenraum ℓ^2 der quadratsummierbaren Folgen und L^2(μ)-Räume quadratintegrierbarer Funktionen mit dem L^2-Skalarprodukt; in allen Fällen konvergieren Cauchy-Folgen bezüglich der induzierten Norm im Raum.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Ein nicht vollständiger Innenprodukt-Raum (Pre-Hilbert-Raum) als Hilbertraum zu bezeichnen oder jeden Banachraum mit einem Hilbertraum zu verwechseln, wenn keine Norm durch ein Skalarprodukt erzeugt wird.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Hilberträume besitzen orthonormale Basen (gegebenenfalls überabzählbar), den Projektionssatz, das Rieszsche Darstellungstheorem für stetige lineare Funktionale und eine ausgedehnte Spektraltheorie für beschränkte selbstadjungierte Operatoren.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Ein Banachraum ohne Innenproduktstruktur (oder mit einer Norm, die nicht aus einem Innenprodukt stammt) fehlt die geometrische Orthogonalität und die Parallelogrammidentität, die Hilberträume charakterisieren.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Voraussetzung ist ein positiv definites Innenprodukt und Vollständigkeit; endlich-dimensionale Innenprodukt-Räume sind stets Hilberträume, während unendlich-dimensionale Innenprodukt-Räume ohne Vervollständigung keine Hilberträume sind.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Wird häufig zu Banachräumen (vollständige normierte Räume) oder Pre-Hilberträumen in Beziehung gesetzt; die Spannung entsteht, wenn orthogonale Zerlegungen oder Projektionssätze das Innenprodukt statt nur der Norm erfordern.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Ein Hilbertraum verbindet lineare Algebra und metrische Vollständigkeit durch ein Innenprodukt: er ist der vollständige Rahmen, in dem Winkel, orthogonale Zerlegungen und Spektralanalysen präzise formuliert werden können.