## [Natürliche Transformation](/de/node/61592) Definition Eine Familie von Morphismen zwischen zwei Funktoren F und G mit derselben Quellkategorie C und Zielkategorie D: für jedes Objekt X von C eine Komponente η_X : F(X) → G(X), so dass für jeden Morphismus f:X→Y das Quadrat G(f) ∘ η_X = η_Y ∘ F(f) (die Natürlichkeitsbedingung) kommutiert. ## Prinzip Prinzip Natürlichkeit verlangt Kohärenz: die Komponenten müssen die Wirkungen der Funktoren auf Morphismen verzahnen, sodass die Familie eine kanonische Transformation von Funktoren ist und nicht nur eine beliebige Sammlung von punktweisen Abbildungen. ## Demonstration Demonstration Betrachte die kanonische Abbildung η_V : V → V** für endlichdimensionale Vektorräume V über einem Körper k, wobei V** der Doppelduale ist. Die Familie {η_V} ist eine natürliche Transformation vom Identitätsfunktor auf Vect_k^fd zum Doppeldualfunktor, weil Dualisierung mit linearen Abbildungen verträglich ist und die Natürlichkeitsquadrate kommutieren. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Eine punktweise definierte Sammlung von Abbildungen als natürliche Transformation deklarieren, ohne die Kommutativität der Natürlichkeitsquadrate zu prüfen, oder anzunehmen, jede punktweise Isomorphie liefere eine natürliche Isomorphie der Funktoren. ## Konsequenz Konsequenz Ist eine natürliche Transformation gültig, liefert sie einen kanonischen Vergleich der Funktoren, ermöglicht Definitionen von Adjunkten, Limiten, Kolimiten und 2-kategorialen Strukturen und kennzeichnet Isomorphie von Funktoren in der Funktorkategorie. ## Umkehrung Umkehrung Eine natürliche Isomorphie ist die Umkehrung: eine natürliche Transformation, deren Komponenten alle Isomorphismen sind, wodurch die beiden Funktoren bis auf kohärente Isomorphie gleichgestellt werden; fehlt die Natürlichkeit, bleibt die Familie rein punktweise. ## Abgrenzung Abgrenzung Setzt voraus, dass beide Funktoren dieselbe Quelle und dasselbe Ziel haben und Komponenten für jedes Objekt definiert sind; auf Teilmengen von Objekten definierte Familien oder Transformationen zwischen Funktoren mit unterschiedlichen Zielen sind im strengen Sinn keine natürlichen Transformationen. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Unterscheidet sich von einer beliebigen 'Familie von Morphismen' durch die Natürlichkeitsanforderung; ebenso verschieden von punktweisen Isomorphismen, da Natürlichkeit Kompatibilität mit allen Morphismen der Quellkategorie erzwingt. ## Synthese Synthese Eine natürliche Transformation ist eine kohärente Familie von Komponentenmorphismen zwischen zwei Funktoren, die die Natürlichkeitsquadrate erfüllt und so einen kanonischen, funktoriellen Vergleich über die ganze Quellkategorie erlaubt.