##  [Nilradikal](/de/node/61584) 

 Definition

In einem kommutativen Ring R ist das Nilradikal Nil(R) das Ideal aller nilpotenten Elemente von R; äquivalent ist es der Durchschnitt aller Primideale von R. Es erfasst den nicht-reduzierten Anteil der Struktur.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Das Nilradikal ist das radikale Ideal des nilpotenten Verhaltens: Ein Element gehört zu Nil(R) genau dann, wenn eine positive Potenz davon null wird. Der Quotient R/Nil(R) ist der größte reduzierte Quotient von R (der reduzierte Ring R_{red}).

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

In k[x]/(x^n) ist die Klasse von x nilpotent und erzeugt das Nilradikal; Nil(k[x]/(x^n))=(x) und der Quotient nach diesem Ideal ist isomorph zu k, einem reduzierten Ring.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Zu meinen, Nilradikal und Jacobson-Radikal würden allgemein übereinstimmen, oder 'Nilradikal' ohne Kommutativitätsannahme zu verwenden; in nichtkommutativen Ringen gibt es mehrere nicht-äquivalente Varianten des Nilradikals (oberes, unteres, Levitzki-Radikal).

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Das Entfernen des Nilradikals (Passage zu R/Nil(R)) beseitigt nilpotente Elemente und liefert ein reduziertes Objekt, auf dem geometrische und spektrale Konstruktionen tatsächliche Punkte widerspiegeln; viele Strukturtheoreme vereinfachen sich auf dem reduzierten Quotienten.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Ein reduzierter Ring ist genau ein Ring mit Nilradikal = 0: er besitzt keine nichttrivialen nilpotenten Elemente, und der Durchschnitt der Primideale ist {0}.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Die Standardbeschreibung Nil(R)=⋂_{p prim} p setzt Kommutativität und die übliche Idealtheorie voraus. Für nichtkommutative Ringe sind verschiedene Nilradikale zu unterscheiden; in Schemata entspricht das Nilradikal den nilpotenten Sektionen des Strukturgarbens und ist garblich zu behandeln.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Nilradikal vs. Jacobson-Radikal: Das Nilradikal wird durch Primideale und Nilpotenz bestimmt, das Jacobson-Radikal durch maximale Ideale und Modultheoretische Annihilation; sie stimmen in manchen noetherschen Situationen überein, im Allgemeinen jedoch nicht.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Das Nilradikal ist das Ideal aller nilpotenten Elemente — der Durchschnitt der Primideale in einem kommutativen Ring — und die kanonische Obstruktion gegen Reduziertheit, beseitigt durch Passage zum reduzierten Quotienten.