## [Modellkompletion](/de/node/61560) Definition Eine Modellkompletion einer erstordentlichen Theorie T ist eine Theorie T*, die ein Modellbegleiter (model companion) von T ist, modellvollständig (jede Einbettung zwischen Modellen von T* ist elementar) und deren Modelle genau die existenziell abgeschlossenen Modelle von T sind. ## Prinzip Prinzip Erweitere T so, dass alle mit T verträglichen existenziellen Konsequenzen erfüllt werden und Einbettungen alle Formsätze des ersten Ordungs pränservieren, wodurch Existenz-Abgeschlossenheit zentral wird. ## Demonstration Demonstration Für die Theorie der Körper ist die Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper (ACF) eine Modellkompletion: ACF ist modellvollständig und ihre Modelle sind genau die unter allen Körpern existenziell abgeschlossenen. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Jede konservative oder vollständige Erweiterung von T fälschlich als Modellkompletion anzusehen; die Existenz einer Modellkompletion ist nicht garantiert und kann für viele Theorien fehlen. ## Konsequenz Konsequenz Existiert eine Modellkompletion, liefert sie oft Quantorenelimination und damit eine einheitliche Kontrolle über definierbare Mengen sowie eine Eindeutigkeit bis auf logische Äquivalenz, was die Modellklassifikation vereinfacht. ## Umkehrung Umkehrung Das Gegenteil ist eine Theorie T mit vielen echten Erweiterungen, die Einbettungen nicht elementar machen; es gibt keinen einzelnen Begleiter, der existenzielle Abgeschlossenheit erfasst, und Wahrheiten können sich ändern. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt im Rahmen erstordentlicher Theorien; nicht jede Theorie besitzt eine Modellkompletion. Die Existenz hängt von Amalgamations- und Einbettungseigenschaften sowie der Signatur und Axiomatisierung ab. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Steht im Spannungsverhältnis zum Begriff des Modellbegleiters oder konservativen Erweiterung: Ein Modellbegleiter ist nicht notwendigerweise modellvollständig, das Forderung nach Modellvollständigkeit verengt die Existenzbedingungen. ## Synthese Synthese Die Modellkompletion ist der stärkste Begleiter von T, der existenzielle Abgeschlossenheit internalisiert, indem er jede Einbettung elementar macht und so externe existenzielle Bedingungen in interne Axiome überführt.