##  [Modellbegleiter](/de/node/61559) 

 Definition

Ein Modellbegleiter T* einer Theorie T ist eine Theorie mit den Eigenschaften (i) T und T* haben dieselben universellen Folgerungen, (ii) jedes Modell von T lässt sich in ein Modell von T* einbetten, und (iii) T* ist modellvollständig (jede Einbettung zwischen Modellen von T* ist elementar). Existiert er, so bildet T* die modellvollständige Hülle des universellen Teils von T ab.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Man fügt einer universellen Theorie die notwendigen existenziellen Konsequenzen hinzu, um Modellvollständigkeit zu erzwingen, ohne die universelle Theorie zu ändern; der Begleiter ist eine kanonische modellvollständige Theorie, die denselben universellen Fragment wie die Ausgangstheorie teilt, wenn die Einbettungen gegeben sind.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Die Theorie algebraisch abgeschlossener Körper (ACF) ist der Modellbegleiter der Theorie der Körper: jeder Körper lässt sich in einen algebraisch abgeschlossenen Körper einbetten, ACF ist modellvollständig, und ACF sowie die Theorie der Körper teilen dieselben universellen Sätze (die Körperaxiome ohne existenzielle Abschlüsse).

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Zugeben, jede Theorie habe einen Modellbegleiter, oder Modellbegleiter mit Modellkompletion verwechseln (Modellkompletion ist stärker und verlangt weitere Erweiterungseigenschaften); einen angenommenen Begleiter zu verwenden, ohne Einbettungs- oder Universalitätsbedingungen zu prüfen, ist falsch.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Wenn ein Modellbegleiter existiert, vereinfacht er die modelltheoretische Analyse: er bringt oft Modellvollständigkeit, bessere Kontrolle definierbarer Mengen und Erleichterungen bei Klassifikation und Quantoreneliminationsargumenten, die auf existenzieller Abschlussbildung beruhen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Gibt es keinen Modellbegleiter, kann man nicht allgemein von beliebigen Modellen von T zu einer einzigen modellvollständigen Hülle übergehen; die Forderung nach Modellkompletion (stärker als Begleiter) kann scheitern, weil manche existenziellen Konsequenzen nicht erzwungen werden können, ohne die universelle Theorie zu ändern.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Die Existenz eines Modellbegleiters hängt von syntaktischen und modelltheoretischen Bedingungen ab (Amalgam-ähnliche Anforderungen, Einbettbarkeit der Modelle, Erhaltung der Universalen); ein Begleiter muss, falls er existiert, nicht notwendigerweise Vollständigkeit oder Quantorenelimination garantieren ohne zusätzliche Voraussetzungen.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zwischen Modellbegleiter, Modellkompletion und konservativen Erweiterungen: Der Modellbegleiter bewahrt universelle Folgen und erreicht Modellvollständigkeit, während die Modellkompletion ein stärkeres, oft eindeutiges Objekt ist, falls vorhanden; diese Begriffe stehen in Wechselwirkung mit existenzieller Abschlussbildung und Einbettungseigenschaften.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Ein Modellbegleiter ist eine modellvollständige Theorie, die das universelle Fragment der Ausgangstheorie teilt und in deren Modelle sich jedes Modell der Ausgangstheorie einbetten lässt; sofern vorhanden bietet sie eine kanonische modellvollständige Hülle zur Vereinfachung existenzieller und struktureller Analysen.