## [Ultrapower](/de/node/61553) Definition Ein Ultraprodukt einer Struktur M bezüglich eines Ultrafilters U auf einer Indexmenge I ist das Ultraproduct der konstanten Familie (M)_{i∈I} modulo U; Elemente sind Äquivalenzklassen von Folgen in M, und durch Łoś’ Satz wird das Ultraprodukt (bei nicht-principalem Ultrafilter) zu einer elementaren Erweiterung von M. ## Prinzip Prinzip Ein Ultrafilter identifiziert Folgen, die auf einer U-großen Menge übereinstimmen, wodurch koordinatenweise Informationen zu erstordnungsäquivalenten Elementen zusammengezogen werden; erstordnungsformeln werden durch Łoś übertragen. ## Demonstration Demonstration Betrachte M = (N,+,·) und ein nicht-principales Ultrafilter auf N: das Ultraprodukt ∏_U M enthält Klassen von Folgen, die unbeschränkt wachsen, und liefert so ein nichtstandardmäßiges Modell der Arithmetik mit unendlichen Elementen gegenüber der Standardkopie von N. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Ein Ultraprodukt als kanonisch ansehen ohne den Ultrafilter anzugeben, oder annehmen, die Kardinalität bliebe erhalten; bei einem principalen Ultrafilter ist das Ultraprodukt trivial (≅ M) und verfehlt die Absicht nicht-principaler Konstruktionen. ## Konsequenz Konsequenz Ultraprodukte erzeugen oft elementare Erweiterungen des Ausgangsmodells, können je nach U und |I| mächtig gesättigt sein und sind ein zentrales Werkzeug zur Konstruktion nichtstandardmäßiger Modelle und zur Realisierung von Typen. ## Umkehrung Umkehrung Die Bildung des direkten Produkts ohne Quotientierung durch ein Ultrafilter oder das Verwenden verschiedener Faktoren kehrt die Methode um: Koordinaten bleiben unterscheiden und die Übertragung erstordnungslogischer Wahrheiten im Sinne einer elementaren Erweiterung kann versagen. ## Abgrenzung Abgrenzung Ultraprodukte sind eine erstordnungslogische Konstruktion, die stark vom gewählten Ultrafilter und der Indexmenge abhängt; sie bewahren nicht automatisch höherstufige Eigenschaften und die Existenz bestimmter Ultrafilter setzt oft das Auswahlaxiom voraus. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannung zwischen Ultraprodukt und Ultraprodukt mit verschiedenen Faktoren (ultrapower versus ultraproduct); Spannung auch gegenüber anderen Methoden, elementare und gesättigte Erweiterungen zu erzeugen (z. B. Monstermodell). ## Synthese Synthese Ein Ultraprodukt fasst Folgen in einer einzigen Struktur mittels eines Ultrafilters zu Äquivalenzklassen zusammen und erzeugt so eine elementare Erweiterung, deren erstordnungslogische Eigenschaften durch Łoś übertragen werden; dies ermöglicht die Konstruktion nichtstandardmäßiger und gesättigter Modelle.