##  [Erste-Ordnungstheorie](/de/node/61547) 

 Definition

Eine Menge von Sätzen der Prädikatenlogik erster Stufe über einer festen Signatur, abgeschlossen unter logischer Konsequenz, die Eigenschaften festlegt, die in Strukturen dieser Signatur gelten sollen.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Eine Erste-Ordnungstheorie ordnet mathematische Informationen syntaktisch: Axiome und ihre logischen Folgen bestimmen die Klasse der Modelle; die Abschluss-Eigenschaft unter logischer Konsequenz stellt sicher, dass jede aus den Axiomen ableitbare Aussage in der Theorie enthalten ist.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Die Axiome der Gruppentheorie (Assoziativität, neutrales Element, Inverse) bilden eine Erste-Ordnungstheorie im Sprachumfang mit einem binären Symbol · und einem Konstantensymbol e; jede Struktur, die · und e interpretiert und diese Axiome erfüllt, ist ein Modell der Theorie, und jede aus den Gruppenaxiomen ableitbare Aussage gehört zur Theorie.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Zu versuchen, ausdrücklich höherstufige Eigenschaften wie „die Trägermenge ist endlich" oder „jede Teilmenge hat ein Maximum" durch eine Erste-Ordnungstheorie vollständig festzulegen; solche Eigenschaften sind nicht unter elementarer Äquivalenz erhalten und können daher nicht durch Erstordnungsaxiome vollständig erfasst werden.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Aus einer Erste-Ordnungstheorie ergeben sich modeltheoretische Werkzeuge: Untersuchung von Modellen, elementaren Erweiterungen, Vollständigkeit oder Unvollständigkeit der Theorie und Anwendung von Kompaktheit sowie Löwenheim–Skolem-Phänomenen zur Herleitung von Existenz- und Kardinalitätsergebnissen für Modelle.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Umgekehrt kann man statt einer deduktiv abgeschlossenen Menge von Sätzen eine Klasse von Strukturen nehmen und die Menge aller Erstordnungsätze betrachten, die in jedem Mitglied wahr sind; diese Umkehrung betont die semantische Sicht (Theorie als gemeinsame Theorie einer Klasse) statt der syntaktischen.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt nur für Sätze der Prädikatenlogik erster Stufe in einer festen Signatur; schließt höherstufige Quantifikation, kategorische Zweitordnungsaxiome und semantische Beschränkungen aus, die nicht durch Erstordnungsätze ausgedrückt oder erzwungen werden können.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Es besteht eine Spannung zwischen Theorie als rein syntaktischem, deduktiv abgeschlossenem Objekt und der semantischen Klasse ihrer Modelle; verschiedene Theorien können dieselbe Modellklasse (im Sinne elementarer Äquivalenz) beschreiben, und eine Theorie kann nichtisomorphe Modelle haben, die alle ihre Sätze erfüllen.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Eine Erste-Ordnungstheorie ist die deduktiv abgeschlossene Sammlung von Erstordnungsätzen in einer gegebenen Signatur, die eine Menge von Strukturen beschreibt, indem sie festlegt, was alle Modelle erfüllen müssen; sie verbindet syntaktische Axiome mit semantischen Modellklassen innerhalb der Grenzen der Erstordnungs-Expressivität.