## [Alternativität](/de/node/61514) Definition Eine Eigenschaft einer (nicht notwendigerweise assoziativen) Algebra, die besagt, dass der Assoziator (a,b,c)=(ab)c−a(bc) verschwindet, sobald zwei benachbarte Argumente übereinstimmen, d.h. (a,a,b)=(b,a,a)=0 für alle a,b. ## Prinzip Prinzip Schwächung der vollen Assoziativität durch Forderung der Assoziativität nur in Fällen mit zwei gleichen nebeneinanderliegenden Stellen; dies garantiert die Assoziativität von Unteralgebren, die von zwei Elementen erzeugt werden (Artins Satz), und liefert nützliche Identitäten. ## Demonstration Demonstration Die Oktonionen-Algebra ist alternativ, aber nicht assoziativ: jedes Produkt mit zwei gleichen benachbarten Faktoren assoziiert, und jede von zwei Oktonionen erzeugte Unteralgebra ist assoziativ, was Alternativität konkret demonstriert. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Aus Alternativität auf volle Assoziativität zu schließen oder anzunehmen, dass für assoziative Ringe gültige Identitäten allgemein gelten; Alternativität erzwingt keine Assoziativität für drei verschiedene Elemente. ## Konsequenz Konsequenz Alternativität impliziert Potenzassoziativität und dass monogene und von zwei Elementen erzeugte Unteralgebren assoziativ sind, wodurch Potenzen wohldefiniert werden und klassische Manipulationen in diesen Unteralgebren möglich sind. ## Umkehrung Umkehrung Wird Alternativität fallengelassen, können Unteralgebren von zwei Erzeugern nicht assoziativ werden und Potenzen Mehrdeutigkeiten aufweisen; volle Assoziativität ist die stärkere Bedingung, die alle Assoziatoren aufhebt. ## Abgrenzung Abgrenzung Die Eigenschaft bezieht sich auf den ternären Assoziator und gilt für Algebren über einem Ring oder Körper; sie verlangt nicht notwendigerweise ein Einselement und schließt andere pathologische Fälle nicht aus, kontrolliert aber nicht Assoziatoren mit drei verschiedenen Einträgen. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannung zur Potenzassoziativität: Alternativität impliziert Potenzassoziativität und Assoziativität für zwei Erzeuger, doch Potenzassoziativität allein erzwingt nicht Alternativität; beides sind verwandte, aber unterschiedliche Abschwächungen der Assoziativität. ## Synthese Synthese Alternativität ist die mittlere Position zwischen Assoziativität und schwächeren Identitäten: sie lässt Assoziatoren mit wiederholten Einträgen verschwinden, bewirkt assoziatives Verhalten für ein- und zweierzeugte Unteralgebren und erlaubt zugleich echte Nichtassoziativität in größeren Produkten.