##  [Kürzungsregel](/de/node/61508) 

 Definition

Eine Eigenschaft, die das Entfernen eines gemeinsamen Faktors aus einer Gleichung erlaubt: Links-Kürzung bedeutet a·b = a·c impliziert b = c, rechts-Kürzung bedeutet b·a = c·a impliziert b = c, sofern das kürzende Element a die nötigen Bedingungen erfüllt.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Prinzip der lokalen Quasi-Invertierbarkeit: Kürzung funktioniert, wenn der zu entfernende Faktor sich wie eine Einheit auf der betreffenden Seite verhält (oder keine Nullteiler vorliegen), wodurch Gleichungen durch einen gemeinsamen Operanden reduziert werden können.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

In Integritätsbereichen gilt: ist a ≠ 0 und a·b = a·c, dann b = c; so impliziert in den ganzen Zahlen 3·x = 3·y, dass x = y, weil es keine Nullteiler bei der Multiplikation gibt.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Kürzung anzuwenden bei Vorhandensein von Nullteilern (z. B. in Z/6Z: 2·3 = 2·0, aber 3 ≠ 0) oder in Halbgruppen, in denen das kürzende Element keine einseitige Kürzbarkeit besitzt, führt zu falschen Schlüssen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Gültige Kürzung vereinfacht das Lösen algebraischer Gleichungen und stützt den Übergang von lokalen zu globalen Gleichheiten; sie ist Grundlage für Begriffe wie Integritätsbereich und spielt eine Rolle bei Eindeutigkeitsbeweisen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Das Versagen der Kürzung tritt auf, wenn ein nicht-null Element Differenzen aufhebt (Nullteiler) oder die Operation keine Invertierbarkeit besitzt; dann sind Vorsicht und alternative Verfahren wie Faktorisierung oder Lokalisierung nötig.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Kürzung ist eine Eigenschaft der betrachteten Elemente und Verknüpfung; sie kann nur links, nur rechts, für bestimmte Elemente gelten oder in der Gesamtstruktur versagen.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Kürzung vs Invertierbarkeit: Invertierbarkeit impliziert Kürzung, aber Kürzung kann ohne vollständige Invertierbarkeit vorliegen; die Unterscheidung bestimmt, ob Division oder Faktorisierung die passende Methode ist.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Die Kürzungsregel erlaubt das Entfernen gemeinsamer Faktoren unter geeigneten Bedingungen und wandelt multiplikative Gleichheiten in Gleichheiten der übrigen Faktoren um; sie ist schwächer als Invertierbarkeit, aber zentral zum Lösen und Vereinfachen von Gleichungen.