##  [Kompositionslänge](/de/node/61498) 

 Definition

Die Anzahl der einfachen (irreduziblen) Faktoren in einer endlichen Kompositionsreihe eines Objekts (z. B. Modul oder Gruppe), gezählt mit Multiplizität; äquivalent die Länge einer maximalen Kette von Teilobjekten mit einfachen aufeinanderfolgenden Quotienten.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Zerlege ein Objekt durch eine endliche Kette 0 = A0 ⊂ A1 ⊂ ... ⊂ An = A mit Ai+1/Ai einfach; die Kompositionslänge ist n, falls eine solche Kette existiert, und ist nach dem Jordan–Hölder-Satz unabhängig von der Wahl der Reihe.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Für einen endlichdimensionalen Vektorraum V über einem Körper haben Kompositionsreihen eindimensionale Quotienten und die Kompositionslänge entspricht der Dimension von V. Für Z/12Z als Z-Modul ergibt eine Reihe die Länge 3 mit Faktoren Z/2Z, Z/2Z, Z/3Z.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Nicht-einfache Verfeinerungen mitzuzählen oder die Forderung nach einfachen aufeinanderfolgenden Quotienten zu vernachlässigen führt zu Überschätzung; die Anwendung auf Objekte ohne endliche Kompositionsreihe ist unzulässig.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Kompositionslänge ist ein Invariant, der die Komplexität eines Objekts misst, mögliche Unterquotientenstrukturen einschränkt und in Klassifikationssätzen auftritt; Existenz endlicher Länge impliziert oft artinsche und noethersche Bedingungen bei Modulen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Statt nach einfachen Quotienten zu verfeinern, betrachtet man eine Sokrals- oder Radikalsreihe, die sich auf maximale semisimple Untermoduln bzw. auf aufeinanderfolgende Radikale konzentriert; diese Reihen können abweichende Längen und Eigenschaften haben.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt nur für Objekte, die eine endliche Kompositionsreihe besitzen; Objekte unendlicher Länge, ohne einfache Unterquotienten oder in Kontexten ohne klaren Einfachheitsbegriff fallen heraus.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Kompositionslänge steht im Spannungsfeld zu anderen Komplexitätsmaßen wie Loewy-Länge, Krull-Dimension oder homologischer Länge: sie zählt irreduzible Bausteine, während andere Maße geschichtete oder homologische Tiefe erfassen.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Die Kompositionslänge ist die endliche Zahl einfacher Faktoren in irgendeiner Kompositionsreihe eines Objekts, ein Invariant, der dessen irreduzible Bestandteile quantifiziert und die Unterquotientenarchitektur beiExistenz einer solchen Reihe einschränkt.