## [Spektrum](/de/node/61491) Definition Die Menge der Skalare λ, für die die Verschiebung T−λI eines Operators nicht invertierbar ist; sie erfasst die vollständigen spektralen Eigenschaften eines Operators und verallgemeinert Eigenwerte auf unendlich-dimensionale und nicht-normale Situationen. ## Prinzip Prinzip Für einen beschränkten linearen Operator auf einem Banachraum ist das Spektrum eine kompakte, nichtleere Teilmenge der komplexen Ebene; es zerfällt (im unendlichdimensionalen Fall) in Punkt-, kontinuierliches und residuales Spektrum und erfüllt Spektralradiusformeln in Beziehung zur Operatornorm. ## Demonstration Demonstration Für eine n×n-Matrix ist das Spektrum gleich der Menge der Nullstellen des charakteristischen Polynoms (die Eigenwerte). Für die einseitige Verschiebung auf ℓ^2 ist das Spektrum die abgeschlossene Einheitscheibe, obwohl es im offenen Kreis keine Eigenwerte gibt; bei kompakten Operatoren sind nicht-null Punkte des Spektrums Eigenwerte endlicher Vielfachheit, die nur bei Null akkumulieren dürfen. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Das Spektrum stets mit der Menge der Eigenwerte gleichsetzen (in endlichdimensionalen Fällen gültig, in unendlichdimensionalen irreführend) oder die Unterscheidungen zwischen Punkt-, kontinuierlichem und residualem Spektrum zu ignorieren, wenn man Funktionalkalkül oder Stabilitätsargumente anwendet. ## Konsequenz Konsequenz Spektralinformation steuert den Funktionalkalkül (Definition von f(T) für holomorphe oder stetige f auf dem Spektrum), das Langzeitverhalten über das Spektrum von Generatoren und Resolventenschätzungen, die in PDEs und numerischer Analyse verwendet werden; der Spektralradius beschränkt das Wachstum von Potenzen des Operators. ## Umkehrung Umkehrung Die Resolventenmenge ist das Komplement des Spektrums: Skalare, für die T−λI invertierbar ist und der Resolventenoperator (T−λI)^{-1} existiert; analytische Eigenschaften des Resolvents spiegeln spektrale Eigenschaften wider. ## Abgrenzung Abgrenzung Die Definition hängt von der Operatorenklasse und dem umgebenden Raum ab: endlich-dimensionale Matrizen haben reines Punkt-Spektrum gleich den Eigenwerten; in Banach- oder Hilberträumen treten zusätzliche Spektraltypen auf und das Spektrum hängt von Topologie und Vollständigkeit ab; unbeschränkte Operatoren erfordern Gebietsdiskussionen und führen zu Spektren, die mit Selbstadjungiertheit oder anderen Eigenschaften zusammenhängen. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spektrum versus numerischer Wertebereich und versus Punkt-Spektrum: Das Spektrum kodiert das Versagen der Invertierbarkeit und ist unter algebraischen Operationen stabil, während der numerische Wertebereich quadratische Mittelwerte erfasst und größer oder kleiner sein kann; das Punkt-Spektrum (Eigenwerte) ist in unendlichdimensionalen Fällen nur ein Teil des vollständigen Spektrums. ## Synthese Synthese Das Spektrum ist die vollständige Menge der Skalare, die die Invertierbarkeit von T−λI verhindern; es verallgemeinert Eigenwerte zu einem kompletten spektralen Invariant, das Funktionalkalkül, Stabilität und das Verhalten des Resolvents des Operators bestimmt.