##  [Eigenwert](/de/node/61487) 

 Definition

Ein Skalar λ, für das es einen von null verschiedenen Vektor v (einen Eigenvektor) gibt, der (T−λI)v=0 erfüllt; es kennzeichnet eine Richtung, die bis auf Skalierung von λ invariant ist.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms eines endlichdimensionalen Operators; jedem Eigenwert entspricht ein invariantes Untervektorraum und algebraische Daten wie Vielfachheit sowie eventuell generalisierte Eigenvektoren im nicht-diagonalisierbaren Fall.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Bei einer Diagonal-Matrix mit Diagonaleinträgen d1,…,dn sind die Eigenwerte genau diese Diagonaleinträge. Eine Drehung in der Ebene hat komplexe Eigenwerte vom Betrag 1 und kann keine reellen Eigenwerte besitzen; ein Jordan-Block der Größe k für den Eigenwert λ erzeugt Ketten von generalisierten Eigenvektoren der Länge k.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Eigenwerte mit Singulärwerten verwechseln (metrische Größen) oder in unendlich-dimensionalen Räumen ohne Prüfung auf Kompaktheit oder andere spektrale Eigenschaften das Vorhandensein von Eigenwerten und vollständigen Eigenvektoren annehmen; algebraische Vielfachheit fälschlich mit geometrischer Vielfachheit gleichsetzen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Kenntnis der Eigenwerte informiert über Diagonalisierbarkeit, Spektralzerlegung, das Langzeitverhalten linearer dynamischer Systeme (z.B. Wachstumsraten über e^{tA}) und Invarianten wie Determinante (Produkt der Eigenwerte, mit Multiplizitäten) und Spur (Summe der Eigenwerte).

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Die Umkehrung führt zur Resolventenmenge: Skalare, für die (T−λI) invertierbar ist, sodass kein nichttrivialer Eigenvektor existiert; ebenso ist zu unterscheiden, wenn λ zum Spektrum gehört, aber kein Eigenwert ist (stetiges oder residuales Spektrum).

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

In endlichdimensionalen Vektorräumen über einem algebraisch abgeschlossenen Körper besitzt jeder Operator Eigenwerte; über nicht algebraisch abgeschlossenen Körpern können Eigenwerte nur in Erweiterungen auftreten; in unendlichdimensionalen Räumen können Eigenwerte fehlen, während das Spektrum nichtleer bleibt. Unterscheiden Sie algebraische und geometrische Vielfachheit sowie Punkt- und Approximationsspektrum.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Eigenwert versus Singulärwert oder Spektralradius: Eigenwerte kodieren algebraische Richtungen (inkl. Orientierung und komplexer Phasen), während Singulärwerte metrische Skalierungen messen und der Spektralradius den maximalen Betrag liefert, aber nicht die Richtungsstruktur.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Ein Eigenwert ist das Skalar, das eine nichttriviale invariante Skalierungsrichtung eines linearen Operators aufzeichnet; zusammen mit Eigen- und generalisierten Eigenvektoren strukturiert er das Operatorverhalten in zerlegbare Komponenten, die die algebraische Struktur und Dynamik bestimmen.