##  [Direkte Summe](/de/node/61472) 

 Definition

Eine Konstruktion, die aus einer Familie von Objekten ein neues Objekt bildet, indem man Tupel bildet und üblicherweise nur endlich viele nichtverschwindende Komponenten zulässt (im algebraischen Fall der endlichen direkten Summe), mit komponentenweisen Operationen und Injektionen aus jeder Summandenkomponente.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

In vielen algebraischen Kategorien als Koprodukt für endliche Familien definiert: ein Objekt ⊕_i A_i mit Injektionen A_j → ⊕_i A_i derart, dass Abbildungen aus der Summe eindeutig durch die Angabe von Abbildungen aus jedem Summanden und deren komponentenweises Zusammenfügen bestimmt sind.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Für Vektorräume V und W besteht die direkte Summe V ⊕ W aus Paaren (v,w) mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation und den Injektionen v↦(v,0), w↦(0,w). Für eine indizierte Familie von Moduln sind Elemente Tupel mit endlich vielen nichtnullen Einträgen.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Die endliche direkte Summe für unendliche Familien verwenden, ohne zu klären, ob die direkte Summe (Koprodukt) oder das vollständige direkte Produkt gemeint ist; anzunehmen, die direkte Summe erhalte unendliche Produkte oder exakte Sequenzen ohne die nötigen Voraussetzungen führt zu Fehlern.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Ermöglicht das Zusammenfügen von Objekten mit disjunkter Unterstützung und das Ausdrücken von Zerlegungen und kanonischen Inklusionen. In der linearen Algebra addieren sich Dimensionen: dim(V⊕W)=dim V + dim W für endlich-dimensionale Räume; in der homologischen Algebra liefert sie Blockzerlegungen und kontrollierte Spaltungen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Die duale Begriff ist das direkte Produkt: während die direkte Summe endlich gestützte Tupel sammelt und Koprodukt ist, erlaubt das Produkt beliebige Tupel und Projektionen. Das Umdrehen der universellen Eigenschaft vertauscht Injektionen und Projektionen.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Wird typischerweise für endliche Familien in algebraischen Kontexten verwendet; für unendliche Familien ist zwischen direkter Summe (endlich gestützte Tupel, Koprodukt) und direktem Produkt (alle Tupel, Produkt) zu unterscheiden. Nicht alle Kategorien besitzen Koprodukte oder Summen mit derselben komponentenweisen Beschreibung.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Wird oft mit direktem Produkt oder innerer direkten Zerlegung verwechselt, weil alle Objekte kombinieren; die Spannung entsteht, da in endlichen Fällen Summe und Produkt für Moduln übereinstimmen, bei unendlichen Indexmengen jedoch auseinanderfallen.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Die direkte Summe ist die koproduktartige Konstruktion, die Objekte zu Tupeln mit komponentenweisen Operationen zusammenfügt und gleichzeitig endliche Unterstützung erzwingt, wodurch kanonische Injektionen und additive Verhalten der Dimensionen entstehen.