##  [Endomorphismus](/de/node/61465) 

 Definition

Ein Homomorphismus eines Objekts auf sich selbst in einer gegebenen Kategorie; er bewahrt die definierende Struktur, muss aber nicht invertierbar sein.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Endomorphismen sind struktur­erhaltende Selbstabbildungen, abgeschlossen unter Komposition und enthaltend die Identität; sie bilden ein Monoid (häufig ein Ring oder eine Algebra in linearen Kontexten).

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Lineare Endomorphismen eines Vektorraums V sind lineare Abbildungen V→V; End(V) ist eine Algebra unter Addition und Komposition. Ringendomorphismen eines Rings R sind Homomorphismen R→R, z. B. der Frobeniusendomorphismus in Charakteristik p.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Jede Mengenabbildung als Endomorphismus zu betrachten, ohne Homomorphieeigenschaften zu prüfen, oder anzunehmen, jeder Endomorphismus sei invertierbar und damit ein Automorphismus.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Endomorphismen erlauben Iteration, Spektraltheorie, Zerlegung (z. B. Jordansche Normalform) und Modulstrukturen; sie erzeugen Monoide und Algebren, die in Darstellungstheorie und Invariantentheorie nützlich sind.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Ein Automorphismus kehrt die Abschwächung um, indem er Invertierbarkeit verlangt; die Gegenüberstellung macht deutlich, wann zusätzliche Struktur (Inverse) einem Endomorphismus aufgezwungen wird.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Beschränkt auf Selbstmorphismen in der spezifizierten Kategorie; schließt Morphismen zwischen verschiedenen Objekten und Abbildungen aus, die die gewählten Operationen oder Relationen nicht respektieren.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zwischen der Auffassung von Endomorphismen als ‚Selbstabbildungen‘ (Mengensicht) und als algebraische Homomorphismen; das Vergessen algebraischer Zwänge führt zur Verwechslung mit beliebigen Selbstabbildungen.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Ein Endomorphismus ist die kategoriale interne Transformation eines Objekts: ein Selbsthomomorphismus, der unter Komposition ein Monoid bildet und Dynamik, Zerlegung und algebraische Struktur kodiert.