## [Automorphismus](/de/node/61464) Definition Ein Isomorphismus eines mathematischen Objekts auf sich selbst, der die vorgegebene algebraische oder relationale Struktur erhält; er ist eine Symmetrie des Objekts. ## Prinzip Prinzip Ein Automorphismus ist ein bijektiver Morphismus f: X → X, der jede Operation oder Relation, die X definiert, bewahrt; Automorphismen bilden unter Komposition eine Gruppe. ## Demonstration Demonstration Für eine endliche Gruppe G definiert die Konjugation durch ein festes g∈G einen inneren Automorphismus x↦gxg^{-1}; für einen Vektorraum V bilden invertierbare lineare Abbildungen GL(V), die Gruppe der linearen Automorphismen. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Jede Bijektion der zugrundeliegenden Menge als Automorphismus zu bezeichnen, ohne die Erhaltung der Operationen zu prüfen (z. B. erhält eine beliebige Permutation die Gruppenstruktur meist nicht). ## Konsequenz Konsequenz Die korrekte Bestimmung von Automorphismen liefert die Automorphismengruppe Aut(X), die Symmetrien, Invarianten und Klassifikationsdaten kodiert; daraus folgen Fixpunktunterobjekte und Orbitzerlegungen. ## Umkehrung Umkehrung Ein nichtinvertierbarer Endomorphismus (Selbsthomomorphismus, der kein Isomorphismus ist) kehrt das Konzept um, indem er struktur­erhaltende, aber nicht bijektive Abbildungen zulässt. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt nur für Selbstisomorphismen in der gewählten Kategorie; schließt nichtinvertierbare Endomorphismen und Abbildungen zwischen verschiedenen Objekten aus; der Begriff ist abhängig von der umgebenden Kategorie und ihrer Isomorphiebegrifflichkeit. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Es besteht Spannung zwischen ‚Symmetrie als Bijektion‘ und ‚Strukturerhaltung‘; in manchen Kontexten wird die Bijektivität gelockert (z. B. approximative Symmetrien), was der strengen Automorphismusdefinition widerspricht. ## Synthese Synthese Ein Automorphismus ist die kategoriale Symmetrie eines Objekts: eine bijektive, struktur­erhaltende Selbstabbildung, deren Kompositionsstruktur die Automorphismengruppe bildet und die Invarianten und Klassifikation bestimmt.