##  [Integritätsbereich](/de/node/61453) 

 Definition

Ein nichttrivialer kommutativer Ring mit Eins, der keine nichttrivialen Nullteiler besitzt; äquivalent: ein Ring R mit 1 ≠ 0, sodass ab = 0 impliziert a = 0 oder b = 0.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Das zentrale Prinzip ist die Kürzbarkeit nichtverschwindender Faktoren: Produkte verschwinden nur, wenn ein Faktor null ist, was die Einbettung in einen Bruchkörper ermöglicht.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Die ganzen Zahlen Z sind ein Integritätsbereich: gilt ab = 0 in Z, so ist a = 0 oder b = 0. Polynomringe über einem Körper K[x] sind Integritätsbereiche, weshalb das Produkt nichtverschwindender Polynome nicht verschwindet.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Zu behaupten, jeder Integritätsbereich sei ein euklidischer Ring, Faktorielle Eindeutigkeit oder integralschließender Ring; solche stärkeren Eigenschaften benötigen zusätzliche Voraussetzungen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Aus dem Fehlen von Nullteilern folgt die Möglichkeit, den Bruchkörper zu konstruieren, Kürzbarkeit in multiplikativen Argumenten anzuwenden und eine Teilbarkeitstheorie ähnlich der der ganzen Zahlen zu entwickeln.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Ein Ring mit Nullteilern (z. B. Z/6Z) bricht die Kürzbarkeit: Nicht-Null-Elemente können zu Null multiplizieren, und viele Argumente mit Lokalisierung oder Teilbarkeit versagen.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Erfordert Kommutativität und Eins und schließt den Nullring aus; nichtkommutative Analogien oder Ringe mit Nullteilern liegen außerhalb dieses Begriffs.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung besteht zwischen 'Domain' im Sinn eines Integritätsbereichs und anderen Bedeutungen von 'Domain' (Definitionsbereich einer Funktion) sowie zwischen Integritätsbedingungen und stärkeren Faktorisierungseigenschaften.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Ein Integritätsbereich ist ein kommutativer Ring mit Einselement ohne nichttriviale Nullteiler; er erlaubt Kürzbarkeit, die Konstruktion eines Bruchkörpers und bildet die Grundlage zur Untersuchung von Teilbarkeit und Faktorisierung bei zusätzlichen Annahmen.